旋涡动力学：原理与诊断验证

涡量方程把流动的演化写成五项收支，每一项都对应一个可以被实验或数值单独测量的机制。理解这五项，就能判断某个涡模型到底丢了什么：Rankine 涡丢了黏性扩散，点涡丢了核结构，涡粒子法丢了远场的可压缩性。涡结构是数值方法最容易"画出来"也最容易画错的东西：换个 Q 阈值，涡的数量可以翻倍；网格粗一倍，涡核可以胖一倍。判断一张涡图是否可信，需要三条不依赖阈值的证据：涡核半径随网格的收敛性、环量随时间的守恒性、以及拉伸项与耗散项的收支平衡。本文把这三条做成可执行的检查。

涡量输运方程的五项

对可压缩、非正压流体，涡量 $\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{u}$ 满足

$$\frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{\omega} = (\boldsymbol{\omega}\cdot\nabla)\mathbf{u} - \boldsymbol{\omega}(\nabla\cdot\mathbf{u}) + \frac{1}{\rho^{2}}\nabla\rho\times\nabla p + \nu\nabla^{2}\boldsymbol{\omega}$$

五项依次是：对流、涡管拉伸、体积膨胀引起的涡量稀释、斜压项、黏性扩散。理解它们的关键是量纲与符号：

• 拉伸项 $(\boldsymbol{\omega}\cdot\nabla)\mathbf{u}$ 与 $\omega$ 同号时增强涡量。二维流动中该项恒为零——这是二维湍流与三维湍流本质不同的原因。
• 膨胀项 $-\boldsymbol{\omega}(\nabla\cdot\mathbf{u})$ 在膨胀区减弱涡量、在压缩区增强。
• 斜压项只在密度与压力梯度不平行时出现，激波后与燃烧面后是主要来源。
• 扩散项在二维下解析可解：核半径按 $\sqrt{\nu t}$ 增长。

对无黏正压流动，Kelvin 定理给出沿物质围道的环量守恒：

$$\frac{D\Gamma}{Dt} = \frac{D}{Dt}\oint_C \mathbf{u}\cdot d\mathbf{l} = 0$$

这个定理是涡方法全部合法性的来源：只要不涉及黏性、斜压与激波，涡量就随流体输运，可以用拉格朗日粒子或涡丝直接携带。

环量与涡量通量守恒

对无黏正压流动，Kelvin 定理给出

$$\frac{D\Gamma}{Dt}=0,\qquad \Gamma=\oint_C \mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}$$

数值解中环量会缓慢漂移，漂移率是离散质量的直接度量。判定阈值：在 10 个对流时间尺度内，绕涡核的环量相对变化应小于 1%。若超过 5%，说明数值耗散或边界通量有问题。

围道选择也有讲究：半径取 $3r_c$ 时已包含 99% 的环量，同时远离核心的高梯度区，积分误差最小。围道太靠近核心，切向速度的离散误差会被放大；围道太远，会被邻近涡污染。

量级估算：涡环与 Burgers 涡

涡环平移速度。 半径 $R$、核半径 $a$ 的圆形涡环，自诱导平移速度近似为

$$U = \frac{\Gamma}{4\pi R}\left[\ln\frac{8R}{a} - 0.25\right]$$

取 $\Gamma=2\,\mathrm{m^2/s}$、$R=0.1\,\mathrm{m}$、$a=0.01\,\mathrm{m}$：$8R/a=80$，$\ln 80=4.382$，括号内 $=4.132$，前因子 $=2/(4\pi\times0.1)=1.592$，得 $U=1.592\times4.132=6.58\,\mathrm{m/s}$。对数依赖意味着 $U$ 对 $a$ 极不敏感——把核半径缩小十倍只让 $U$ 增加约 30%。这正是涡方法能容忍一定核尺度误差的原因。

Burgers 涡核。 取 $\alpha=100\,\mathrm{s^{-1}}$、$\nu=1.5\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}$、$\Gamma=2\,\mathrm{m^2/s}$：

1. 核半径 $r_c=\sqrt{2\nu/\alpha}=\sqrt{2\times1.5\times10^{-5}/100}=\sqrt{3.0\times10^{-7}}=5.48\times10^{-4}\,\mathrm{m}=0.548\,\mathrm{mm}$；
2. 在 $r=r_c$ 处的切向速度 $u_\theta=\Gamma/(2\pi r_c)\times(1-e^{-0.5})=2/(2\pi\times5.48\times10^{-4})\times0.3935=228.6\,\mathrm{m/s}$；
3. 网格要求 $\Delta x\le r_c/8=68\,\mu\mathrm{m}$，这个尺度在整机算例中无法满足，因此工程上通常用亚格子涡模型代替解析。

第 3 步是这类模型的核心限制：涡核尺度由拉伸率与黏性之比决定，与几何尺寸无关，因此"加密到能解析"往往不现实。

涡方法层级与代价

选择依据是"涡结构是否主导你要的量"。直升机旋翼的桨尖涡、飞机尾涡、扑翼涡环这些以离散涡为骨架的流动，涡方法的效率可以比网格法高两个数量级。反过来，壁面附近的湍流边界层是连续谱、没有离散涡骨架，涡方法毫无优势。

方法	涡量表示	适用域	主要代价
点涡	奇点	二维远场、稳定性分析	近距离奇异性
涡团（blob）	光滑核	二维自由剪切层	核尺度与分辨率耦合
涡丝 / 涡面	拉格朗日线面	尾迹、旋翼、三维涡管	涡丝变形需重划分
涡粒子法	粒子携带涡量	高雷诺数外部绕流	粒子畸变需重映射
涡-网格混合（VIC）	粒子→网格投影	尾迹与壁面相互作用	投影耗散
网格法（LES/DNS）	欧拉场	全部，含壁面与激波	全域网格代价

三个涡模型的适用域

Rankine 涡：核内刚体旋转、核外自由涡，

$$u_\theta = \begin{cases} \Omega r, & r \le R \\ \dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > R \end{cases}$$

核边缘速度梯度不连续，涡量在 $r=R$ 处是狄拉克奇点。它适合做解析估计与远场衰减判断，不适合放进数值求解器。

Lamb-Oseen 涡：黏性扩散的自相似解，核半径按 $r_c=\sqrt{4\nu t}$ 增长，适合验证数值格式的涡量耗散。

Burgers 涡：把轴向拉伸与径向压缩同时考虑，

$$u_r = -\alpha r,\quad u_z = 2\alpha z,\quad u_\theta = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left[1-\exp\left(-\frac{\alpha r^{2}}{2\nu}\right)\right]$$

拉伸项与黏性扩散在稳态下平衡，给出固定的核半径 $r_c=\sqrt{2\nu/\alpha}$。这是唯一同时包含拉伸与耗散的最小模型，因此是检验涡量方程收支的标准算例。

二维假设何时成立

涡量方程里拉伸项在二维恒为零，因此二维模拟天然丢失涡管拉伸这一最重要的三维涡量增强机制。判据是比较拉伸项与对流项的量级：

$$\frac{\|(\boldsymbol{\omega}\cdot\nabla)\mathbf{u}\|}{\|(\mathbf{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{\omega}\|} \sim \frac{u'}{U}\cdot\frac{L_{\parallel}}{L_{\omega}}$$

$L_{\parallel}$ 是沿涡轴的变形尺度，$L_\omega$ 是涡量横向梯度尺度。当沿涡轴方向的变形可以忽略（长直涡管、展向均匀的二维剪切层）时该比值远小于 1，二维成立。自由剪切层的初期、大展弦比机翼的中段、以及准二维的浅水流动属于这一类。反之，涡环、旋翼尾迹、湍流斑点必须三维。

import math
def burgers_vortex(Gamma, alpha, nu=1.5e-5):
    rc = math.sqrt(2 * nu / alpha)
    u_at_rc = Gamma / (2 * math.pi * rc) * (1 - math.exp(-0.5))
    return dict(rc_mm=rc * 1e3, u_theta_at_rc=u_at_rc,
                dx_max_um=rc / 8 * 1e6)

def vortex_ring(Gamma, R, a):
    return Gamma / (4 * math.pi * R) * (math.log(8 * R / a) - 0.25)

print(burgers_vortex(2.0, 100.0))     # rc=0.548 mm, u_theta=228.6 m/s
print(vortex_ring(2.0, 0.1, 0.01))    # U=6.58 m/s

涡核半径的网格依赖性

涡核半径是比涡量峰值更稳健的诊断量，因为它对数值耗散的响应是单调的：网格越粗，耗散越强，核半径被数值地"撑大"。判定要求是

$$\Delta x \le \frac{r_c}{8}$$

即涡核直径上至少 16 个单元。若网格加密后核半径持续单调减小而没有平台，说明尚未收敛。

Lamb-Oseen 涡核对。 该解析解给出切向速度与核半径演化：

$$u_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left[1-\exp\left(-\frac{r^{2}}{r_c^{2}}\right)\right],\qquad r_c^{2}=4\nu t$$

取 $\Gamma=1\,\mathrm{m^2/s}$、$\nu=1.5\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}$、$t=1\,\mathrm{s}$：

1. $r_c=\sqrt{4\times1.5\times10^{-5}\times1}=\sqrt{6.0\times10^{-5}}=7.75\times10^{-3}\,\mathrm{m}=7.75\,\mathrm{mm}$；
2. 网格要求 $\Delta x\le r_c/8=0.97\,\mathrm{mm}$，即约 1 mm；
3. 峰值切向速度出现在 $r=1.396r_c=10.8\,\mathrm{mm}$ 处，其值 $u_{\theta,\max}=0.638\,\Gamma/(2\pi r_c)=0.638\times1/(2\pi\times0.00775)=13.1\,\mathrm{m/s}$；
4. 峰值涡量 $\omega_{\max}=\Gamma/(\pi r_c^{2})=1/(\pi\times6.0\times10^{-5})=5305\,\mathrm{s^{-1}}$；
5. 时间推进到 $t=2\,\mathrm{s}$：$r_c=\sqrt{1.2\times10^{-4}}=10.95\,\mathrm{mm}$，$\omega_{\max}=1/(\pi\times1.2\times10^{-4})=2653\,\mathrm{s^{-1}}$，恰为 $t=1\,\mathrm{s}$ 时的一半。

第 5 步是最有用的核对：在无外力的自由衰减阶段，峰值涡量必须严格按 $1/t$ 衰减、核半径严格按 $\sqrt{t}$ 增长。求解器若给出别的幂次，问题一定在离散而非物理。

后处理与涡量收支脚本

// OpenFOAM 函数对象：直接输出 Q 与涡量
functions
{
    vorticity
    {
        type            vorticity;
        libs            ("libfieldFunctionObjects.so");
        writeControl    writeTime;
    }
    Q
    {
        type            Q;
        libs            ("libfieldFunctionObjects.so");
        writeControl    writeTime;
    }
    enstrophy
    {
        type            enstrophy;
        libs            ("libfieldFunctionObjects.so");
        writeControl    writeTime;
    }
}

import numpy as np
def lamb_oseen_check(Gamma, nu, t, rc_measured):
    rc_exact = np.sqrt(4 * nu * t)
    w_exact = Gamma / (np.pi * rc_exact**2)
    return dict(rc_exact_mm=rc_exact * 1e3,
                rc_error=abs(rc_measured - rc_exact) / rc_exact,
                omega_max_exact=w_exact)

# Gamma=1, nu=1.5e-5, t=1 s -> rc=7.75 mm, omega_max=5305 1/s
print(lamb_oseen_check(1.0, 1.5e-5, 1.0, rc_measured=7.9e-3))

涡量方程的各项收支可以在后处理里直接积分核对：

$$\int_V \frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial t}\,dV = \int_V (\boldsymbol{\omega}\cdot\nabla)\mathbf{u}\,dV - \int_V \boldsymbol{\omega}(\nabla\cdot\mathbf{u})\,dV + \nu\int_V \nabla^{2}\boldsymbol{\omega}\,dV$$

不可压且无边界通量时，右端只有拉伸项与耗散项。若两者之和与左端的时间变化率相差超过 10%，说明离散误差主导了涡量演化，此时讨论涡结构细节没有意义。

故障模式与判定试验

现象	根因	判定试验
二维算例的涡量峰值不衰减也不增强	拉伸项在二维恒为零，物理上被抹掉	做三维展向周期算例对照，看涡量峰值变化
涡粒子法结果在长时间后出现非物理聚集	粒子畸变导致核尺度失真	开启粒子重映射并比较总环量守恒
涡环平移速度对核半径极敏感	公式误用，或核半径远大于 $R$	核对 $a\ll R$ 前提，检查对数项符号
有激波时涡量不守恒	斜压项被忽略	输出 $\nabla\rho\times\nabla p/\rho^{2}$ 的体积分
壁面附近涡量始终为零	涡方法未施加壁面无滑移	加入涡片生成项或改用混合方法
涡核半径随拉伸率增大而增大	用错了 $r_c=\sqrt{2\nu/\alpha}$ 的方向	核对 $\alpha$ 定义：拉伸应使核变细
阈值微调后涡结构数量翻倍	流场没有清晰的涡尺度分离，准则阈值无物理依据	做 5 档阈值扫描，改报告总环量与涡量峰值
网格加密后涡核半径持续缩小	数值耗散尚未收敛	做两次加密，要求 $r_c$ 变化小于 5%
涡量峰值按 $1/t^{2}$ 而非 $1/t$ 衰减	离散耗散大于物理黏性耗散	与 Lamb-Oseen 解析衰减逐时刻对比
绕涡核的环量随时间单调下降	数值耗散或出口涡量通量未处理	计算 $\Delta\Gamma/\Gamma$，并检查出口边界
壁面附近出现非物理的高涡量层	涡量边界条件与壁面条件不自洽	检查壁面 $\omega$ 与 $\nabla\times\mathbf{u}$ 的一致性
拉伸项 $\omega\cdot\nabla u$ 很大但涡不增强	拉伸被离散耗散抵消	输出涡量方程各项的体积分收支

涡识别准则及其阈值敏感性

三个常用准则都从速度梯度张量 $\nabla\mathbf{u}=\mathbf{S}+\boldsymbol{\Omega}$ 出发。Q 准则取

$$Q = \frac{1}{2}\left(\|\boldsymbol{\Omega}\|^{2} - \|\mathbf{S}\|^{2}\right) > 0$$

$\lambda_2$ 准则取 $\mathbf{S}^{2}+\boldsymbol{\Omega}^{2}$ 的第二大特征值 $\lambda_2<0$；$\Delta$ 准则取 $\nabla\mathbf{u}$ 的特征方程判别式为正。三者给出的拓扑结构相近，但对阈值的敏感度不同：Q 需要同时给正负号与一个绝对阈值，$\lambda_2$ 只需符号，因此 $\lambda_2$ 在跨工况比较时更稳健。

诊断方法是阈值扫描：把 Q 的阈值按 $2$ 倍步长取 5 档，统计识别出的连通涡结构数量。若数量在相邻档之间变化超过 50%，说明涡结构之间没有清晰的尺度分离，此时任何"涡的个数"都不可报告，只能报告积分量如总环量或涡量峰值。

归档要点

报告需要写明：使用的涡识别准则、阈值取值及其扫描结果、涡核半径的网格收敛表、以及环量随时间的曲线。若涡图用于定量结论（如"涡脱落频率提高了 15%"），必须额外给出频率的谱峰与谱宽，并说明采样窗口长度。仅凭若干张彩色涡图得出的趋势判断，无法排除阈值选择带来的假象。

参考资料

1. Saffman P.G., Vortex Dynamics, Cambridge University Press, 1992.
2. Lamb H., Hydrodynamics, 6th ed., Cambridge University Press, 1932.
3. Batchelor G.K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967.
4. Burgers J.M., “A Mathematical Model Illustrating the Theory of Turbulence,” Advances in Applied Mechanics, 1, 171-199, 1948.
5. Cottet G.-H., Koumoutsakos P.D., Vortex Methods: Theory and Practice, Cambridge University Press, 2000.
6. Hunt J.C.R., Wray A.A., Moin P., “Eddies, Streams, and Convergence Zones in Turbulent Flows,” Center for Turbulence Research Proceedings, 193-208, 1988.
7. Jeong J., Hussain F., “On the Identification of a Vortex,” Journal of Fluid Mechanics, 285, 69-94, 1995.
8. Taylor G.I., Green A.E., “Mechanism of the Production of Small Eddies from Large Ones,” Proceedings of the Royal Society A, 158(895), 499-521, 1937.