SPH 固壁、入口与开放边界处理

1 结论与适用场景

粒子法的边界不是一条几何线，而是核支持域被截断后产生的一组缺失贡献。自由表面可以靠状态方程自然处理，固壁、入口和开放边界却必须显式补足邻居，否则密度亏损会把内部粒子吸向壁面，压力梯度出现方向偏差，无滑移条件也无从满足。工程上最重要的结论是：把越界粒子简单投影回计算域只能约束位置，既不能恢复核一致性，也不能控制切向动量交换，因此它只能作为最后一道保险，而不是边界条件本身。

按需求选择方案可以显著减少试错。自由表面、溃坝与飞溅适合用动态边界粒子配合弱压缩状态方程；需要准确描述壁面剪切层或近壁压力的管道流、Couette 流应优先选择镜像虚粒子或半解析边界；运动壁面、旋转机械与活塞问题要求边界粒子随刚体运动并同步更新速度；入口与出口的关键是粒子生成、吸收与扰动离开，应把精力放在缓冲区设计而不是单点受力。无论采用哪种方案，都要同时满足非穿透、无滑移、压力一致性与动量守恒四项检查，缺一不可。

2 原理与分类

边界方法可以按“如何补足缺失邻居”分为四类，再叠加边界的物理含义进行分类。

• 镜像虚粒子：在壁面外侧构造镜像点，把内部粒子状态做镜面对称复制，使密度求和与梯度计算在壁面附近重新获得支撑。平直壁面实现简单、精度高，是管道流与 Couette 流的首选；复杂几何需要处理重叠与尖角。
• 动态边界粒子：直接在壁面布置一层或多层固定或运动粒子，使其携带质量与速度参与所有成对求和。实现最直接，能适应任意几何，但有效壁面位置、压力波动和时间步惩罚依赖粒子层数与间距。
• 半解析边界：对壁面截断的核积分做几何修正，用解析或预先计算的一维因子替代缺失邻居，可在光滑壁面获得更高精度，但实现与邻域积分更复杂，尖角处误差明显。
• 排斥或接触力：在粒子与壁面之间施加惩罚性近程力，只阻止穿透，不保证切向条件，适合颗粒接触；力系数过大压缩时间步，过小则产生可见穿透。

分类之外要区分边界的物理含义：无滑移要求切向速度被壁面拖曳，自由滑移只约束法向速度，开放边界要在允许流出流入的同时避免压力波反射。入口必须同时协调速度、密度与压力三者，只固定速度会让密度和压力自相矛盾，从而在入口内侧诱发出非物理波动。

在流体问题中还可按边界是否与流体交换质量进一步区分。不透水固壁只传递法向支撑与切向剪切，不参与质量交换，因此其误差主要体现为局部压力和速度偏差；入口与出口属于有质量通量的开口边界，必须允许粒子跨越，同时保持宏观质量与动量守恒。开放边界通常借助内侧的松弛区或缓冲层实现，让扰动在缓冲区中被逐步吸收，减少向计算域内部的反射。缓冲区长度一般取若干倍核半径，吸收强度需要与当地声速和流速相匹配：过强会压平物理波动，过弱则无法真正吸收反射。同一算例可能同时包含固壁、入口、出口和自由表面，此时各类边界的设定必须相互兼容，尤其要保证进出口通量与壁面无穿透在耦合后仍然成立。

3 核心公式与方法

镜像粒子通过对内部状态做镜面对称来补足邻居。设壁面单位法向为 $\mathbf{n}$，内部粒子法向速度反射，切向速度按目标条件设置（无滑移时等于壁面速度 $\mathbf{v}_w$）：

$$v^{\mathrm{ghost}}_{n}=-v_{n},\qquad \mathbf{v}^{\mathrm{ghost}}_{t}=\mathbf{v}_{w,t}.$$

镜像粒子的密度直接复制内部值，使壁面处密度求和不再亏损，近壁压力得以恢复：

$$\rho_i=\sum_{j\in\Omega}m_jW_{ij}+\sum_{k\in\Gamma_g}m_kW_{ik}.$$

对动态边界粒子，壁面压力常按静水或状态方程赋值，以提供与内部压力一致的壁面支撑：

$$p_k=p_i+\rho\,\mathbf{g}\cdot(\mathbf{x}_k-\mathbf{x}_i).$$

排斥力用于抑制穿透，典型形式是近程幂律或 Lennard-Jones 型力，超程时为零：

$$\mathbf{f}_{ik}=F_0\left[\left(\frac{r_0}{r_{ik}}\right)^{n_1}-\left(\frac{r_0}{r_{ik}}\right)^{n_2}\right]\hat{\mathbf{r}}_{ik},\qquad r_{ik}\leq r_0.$$

半解析边界把被截断的核积分写成“内部求和加边界积分”的修正形式，用边界积分补齐缺失贡献：

$$\nabla A_i\approx\sum_{j}\frac{m_j}{\rho_j}(A_j-A_i)\nabla_iW_{ij}+\int_{\partial\Omega}A_b\,\nabla_iW\,d\Gamma .$$

半解析项适合作为一致性修正，其精度取决于边界几何近似与法向估计的准确度。

镜像法与动态边界法对近壁质量与动量平衡的影响并不相同。镜像法通过对称复制天然满足零阶一致性并部分满足一阶一致性，近壁密度误差小、压力恢复快；动态边界法用真实粒子承担质量，密度更接近内部值，但等效壁面位置会随粒子层厚度漂移，从而改变剪切层厚度。若在同一壁面把两种方法混用，必须保证各自的密度贡献不重复计入，否则壁面压力会系统性偏高；若需要在壁面施加指定的热流或质量通量，也应把该通量拆分到镜像状态或动态粒子中，而不是事后叠加。

4 数值实现与参数

实现边界时应固定以下可复现参数。第一是边界粒子层数与间距比：动态边界通常需要两到三层才能稳定支撑壁面压力，层厚不足会在壁面附近形成密度低谷，层数过多则增加无谓开销与时间步惩罚。第二是虚粒子生成规则：在每次邻居搜索后或每一时间步重建镜像点都可，但重建频率必须与核半径 $h$ 一致，避免出现悬空或重叠的镜像。第三是角点与凹凸几何处理：凹角处镜像会重叠，需要去重并限制每个壁面的法向贡献；凸角处支撑不足，需要局部加密或退化处理。第四是运动壁面更新：边界粒子速度必须与刚体运动学同步，并计入其对时间步的限制。

参数选取要满足近壁分辨率要求：壁面处法向邻居数应与内部相当，或至少达到内部的一半；粒子间距比 $h/\Delta p$ 应与全流场一致，不能只在近壁单独改变。入口缓冲区长度、出口缓冲层厚度与粒子生成速率应使流入流出在长时间平均上守恒。开放边界可采用特征外推、松弛区或状态外推，其强度参数应远小于会显著改变压力的量级，并按流动方向与可压缩性一致选取。

入口的实现通常是：在入口外侧维持一段缓冲粒子，并对其赋予目标速度、密度与压力；缓冲层内的粒子按既定生成规则补充，缺粒子时插入、多粒子时回收，使层内始终维持稳定支撑。出口则在缓冲层内按外推或松弛逐步恢复自由流状态，粒子离开计算域后统一回收或标记，避免长期累积造成统计偏置。为抑制启动冲击，可对入口目标量施加平滑的斜坡函数，让速度与密度在若干声学时间尺度内线性建立，而不是在第一个时间步就跃变到终值。

5 可复现示例

平板 Couette 流用于验证无滑移：上板以速度 $U$ 运动，下板静止，稳态解析解为线性剖面 $u(y)=Uy/d$。布置规则粒子，上板用运动动态边界粒子或镜像虚粒子，下板用静止边界，运行至统计稳态后提取时间平均速度剖面，与线性解逐点比较，重点报告近壁两三个粒子间距内的误差。

Poiseuille 流用于验证压力驱动与壁面无滑移：入口施加体积力或等效压力梯度 $G$，稳态解析解为抛物线剖面：

$$u(y)=\frac{G}{2\mu}\,y\,(d-y),\qquad u_{\max}=\frac{Gd^{2}}{8\mu}.$$

比较剖面时统一插值位置与时间平均窗口，并检查近壁剪切的收敛趋势。静水压力题用于检查边界压力一致性：静止水箱中壁面附近压力应等于 $\rho g H$，出现系统性偏差通常指示有效壁面位置错置或密度亏损。

伪代码要点如下：

for each time step:
  move particles
  rebuild neighbor lists
  update boundary particles (fixed, moving, or ghost images)
  compute density with boundary contributions
  compute pressure from equation of state
  compute pressure, viscous, and boundary/repulsion forces
  integrate to next step
  record penetration depth, wall pressure, inlet/outlet mass flux

6 常见坑与排查

• 粒子被吸向壁面：多数是密度亏损导致压力过低，应先增加边界支撑或改用镜像虚粒子，而不是继续调大排斥力。
• 无滑移不满足：检查切向虚粒子速度是否复制壁面速度，而不是仅反射法向分量。
• 壁面压力振荡：动态边界层数不足或壁面粒子间距过大，需要提高近壁分辨率。
• 时间步被迫减小：排斥力系数过大或边界粒子过密，应评估力模型与时间步的耦合关系。
• 出口反射形成驻波：缓冲区太短或松弛强度不当，应延长出口缓冲或改用特征外推。
• 角点出现空洞或穿模：镜像重叠未去重、凸角支撑不足，需局部加密或退化处理。
• 质量不守恒：入口生成速率与流出不匹配，应统计长时间平均通量而不是瞬时值。
• 入口内侧出现压缩波：只指定了速度而未协调密度与压力，应同时给定三者或改用松弛型入口。
• 等效壁面漂移：动态边界层厚变化使剪切层厚度不稳定，应固定粒子间距比并复现层数敏感性。

7 检查清单与参考

1. 明确边界类型（固壁、入口、出口、自由滑移）与对应目标条件。
2. 记录边界方法、层数、粒子间距比与镜像重建频率。
3. 分别统计内部、自由表面和近壁的邻居数分布。
4. 用 Couette、Poiseuille 和静水题独立验证切向、驱动和压力一致性。
5. 统计最大穿透距离、边界质量通量与进出通量平衡。
6. 报告近壁压力与速度误差随分辨率的变化趋势。

参考：

1. Monaghan, “Smoothed Particle Hydrodynamics,” Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 1992.
2. Colagrossi & Landrini, “Numerical simulation of interfacial flows by smoothed particle hydrodynamics,” Journal of Computational Physics, 2003.
3. Adami, Hu & Adams, “A generalized wall boundary condition for smoothed particle hydrodynamics,” Journal of Computational Physics, 2012.