静水压力平衡：结果诊断与可信度验证

静水压力平衡是最容易被"看起来没问题"掩盖的基准：水面不动、动画安静，但内部可能存在百分之几的压力噪声和持续的伪速度。可信度判据必须落到数字上——压力相对噪声是否低于 1%、伪速度幅值是否低于 $0.01\sqrt{gH}$、以及壁面压力是否在静水律的线性带上。本文给出这三条线的阈值、手算过程与频谱诊断脚本。

静水压力律给出逐点参照

静止水体中压力只随深度线性变化，与水平位置无关：

$$p(z)=\rho g\,(H-z),\qquad 0\le z\le H,$$

其中 $H$ 为水深（m），$z$ 为距底部的垂直坐标（m），$\rho$ 为密度（$\mathrm{kg/m^3}$），$g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$。这一式子的用途是提供任意高度处的解析压力，用于与数值粒子压力逐点对照，而不只是比较底部单点。

一次可核对的手算：取 $H=1.0\ \mathrm{m}$、$\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$。底部压力 $p(0)=1000\times9.81\times1.0=9810\ \mathrm{Pa}$；半深处 $p(0.5)=1000\times9.81\times0.5=4905\ \mathrm{Pa}$；距底 $0.75\ \mathrm{m}$ 处 $p(0.75)=1000\times9.81\times0.25=2452.5\ \mathrm{Pa}$。这些值应精确落在数值结果的 $\pm1\%$ 带内。

压力噪声的相对判据

定义压力相对噪声为

$$\varepsilon_p=\frac{1}{\rho g H}\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left(p_i-p^{\mathrm{exact}}_i\right)^{2}\right)^{1/2},$$

$N$ 为统计粒子数，$p^{\mathrm{exact}}_i$ 由静水律在该粒子高度处给出。分母用底部压力 $\rho gH$ 作尺度，使判据与水深无关。工程阈值取 $\varepsilon_p\le1\%$；对 $H=1.0\ \mathrm{m}$ 即压力均方根误差不超过 $98.1\ \mathrm{Pa}$。若只统计内部粒子（距壁面大于 $2h$）时 $\varepsilon_p$ 迅速降到 0.2% 以下，而全域统计仍高于 1%，则噪声集中在壁面，属于边界亏缺问题而非格式问题。

伪速度幅值判据

静止水体不应有宏观流动，因此用最大伪速度与重力波速的比值作为无量纲判据：

$$\mathrm{Ma}_{s}=\frac{\max_i\lvert\mathbf{u}_i\rvert}{\sqrt{gH}}\le 0.01 .$$

对 $H=1.0\ \mathrm{m}$，$\sqrt{gH}=\sqrt{9.81}=3.13\ \mathrm{m/s}$，阈值对应 $\max\lvert\mathbf{u}_i\rvert\le0.0313\ \mathrm{m/s}$。这个阈值比"速度看起来接近零"严格得多：$0.03\ \mathrm{m/s}$ 在 100 s 内可累积 3 m 位移，足以让静水面缓慢漂移。若伪速度超标，先用 $c_0\ge10\sqrt{gH}=31.3\ \mathrm{m/s}$ 检查弱可压缩声速是否足够高，再检查壁面粒子是否提供了足够的压力支撑。

三档分辨率的噪声收敛

静水基准不追求高收敛阶，而要求噪声随加密单调下降。用三档粒子间距统计 $\varepsilon_p$：

$$\varepsilon_p(\Delta x)\approx C\,\Delta x^{q},\qquad q=\frac{\ln\!\left(\varepsilon_{p,2}/\varepsilon_{p,1}\right)}{\ln\!\left(\Delta x_{2}/\Delta x_{1}\right)} .$$

一次手算：$\Delta x=20,10,5\ \mathrm{mm}$ 时 $\varepsilon_{p,1}=0.0042$、$\varepsilon_{p,2}=0.0101$、$\varepsilon_{p,3}=0.0243$。则

$$q_{12}=\frac{\ln(0.0101/0.0042)}{\ln 2}=\frac{0.878}{0.693}=1.27,\qquad q_{23}=\frac{\ln(0.0243/0.0101)}{\ln 2}=\frac{0.878}{0.693}=1.27 .$$

两段阶次几乎相同，说明噪声来源于一致性的零阶/一阶误差，且随加密稳定下降；若 $q<0.5$，多半是壁面粒子间距没有随流体粒子同步缩小。

压力噪声频谱诊断脚本

import numpy as np

H, rho, g = 1.0, 1000.0, 9.81

def exact_pressure(z, H=H, rho=rho, g=g):
    return rho * g * (H - z)

def pressure_noise(p, z, H=H, rho=rho, g=g):
    """相对压力噪声，分母取底部压力"""
    return np.sqrt(np.mean((p - exact_pressure(z))**2)) / (rho * g * H)

def spurious_velocity(u, H=H, g=g):
    """伪速度无量纲判据"""
    return np.max(np.abs(u)) / np.sqrt(g * H)

# 逐点对照：H=1.0 m 时解析压力
for z in (0.0, 0.25, 0.5, 0.75):
    print("z=%.2f m -> p=%.1f Pa" % (z, exact_pressure(z)))

# 噪声收敛阶
eps = [0.0042, 0.0101, 0.0243]     # fine -> coarse
dx  = [0.005, 0.010, 0.020]        # m
q = np.log(eps[1] / eps[0]) / np.log(dx[1] / dx[0])
print("noise order q =", round(q, 2))            # 1.27
print("threshold v_max =", 0.01 * np.sqrt(g * H), "m/s")  # 0.0313

失败模式与判定试验

现象	根因	判定试验
水面静止但 $\varepsilon_p$ 高于 5%	壁面粒子亏缺，压力支撑不足	只统计距壁面 $2h$ 以外的粒子，看 $\varepsilon_p$ 是否骤降
伪速度长期缓慢漂移	弱可压缩声速偏低或存在静压不平衡	把 $c_0$ 从 $10\sqrt{gH}$ 提到 $20\sqrt{gH}$ 重跑
压力沿水平方向出现梯度	初始密度或粒子排布不均匀	用规则格点重初始化，比较 $\varepsilon_p$ 变化
底部压力低于解析值 5%	底部边界粒子缺失，最近粒子距底过远	检查最近粒子距底距离是否大于 $0.5\Delta x$
噪声不随加密下降	壁面层间距未与流体同步缩小	计算 $q$，看是否低于 0.5
长时间后水面抬升	伪速度累积位移未被阻尼抑制	输出 $\max\lvert u\rvert$ 时间历程，看是否单调增长

复核与参考文献

通过条件：全域 $\varepsilon_p\le1\%$、内部区 $\varepsilon_p\le0.2\%$、$\mathrm{Ma}_s\le0.01$、$q\ge0.8$ 且单调。参考文献：

1. Monaghan, J. J., “Simulating Free Surface Flows with SPH,” Journal of Computational Physics, 110(2), 1994, pp. 399–406.
2. Adami, S., Hu, X. Y., Adams, N. A., “A generalized wall boundary condition for smoothed particle hydrodynamics,” Journal of Computational Physics, 231(21), 2012, pp. 7057–7075.
3. Colagrossi, A., Landrini, M., “Numerical simulation of interfacial flows by smoothed particle hydrodynamics,” Journal of Computational Physics, 191(2), 2003, pp. 448–475.
4. Antuono, M., Colagrossi, A., Marrone, S., “Numerical diffusive terms in weakly-compressible SPH schemes,” Computer Physics Communications, 183(12), 2012, pp. 2570–2580.
5. SPHERIC, “SPHERIC Benchmark Test Cases,” ERCOFTAC SPHERIC Workshop benchmark suite.
6. Violeau, D., Fluid Mechanics and the SPH Method: Theory and Applications, Oxford University Press, 2012.
7. Liu, G. R., Liu, M. B., Smoothed Particle Hydrodynamics: A Meshfree Particle Method, World Scientific, 2003.