无网格法验证与基准

液体冲击：结果诊断与可信度验证

围绕冲击压力的采样频率、峰值统计与模型选择，给出声学冲击压力与驻点压力两种标尺、所需采样率估算、峰值收敛判据，并附可核对的量级手算与峰值提取脚本。

林工程师更新于 2026/9/22

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液体冲击：结果诊断与可信度验证

液体冲击的诊断陷阱在于峰值压力对采样频率、粒子无序性和声速极其敏感，同一算例换一次输出间隔就可能差两三倍。可信做法是把峰值当作统计量而非单点，并用两个相差数量级的理论标尺判断结果落在哪一档：声学水锤压力还是驻点压力。本文给出标尺、所需采样率的估算、峰值收敛判据与一次量级手算。

两个理论标尺界定压力上界

液体撞击刚性壁面时，压力上限由声学水锤给出，下界由驻点压力给出：

p_{\mathrm{ac}}=\rho\,c\,v,\qquad p_{\mathrm{stag}}=\tfrac{1}{2}\rho v^{2},

其中 $\rho$ 为密度（ $\mathrm{kg/m^3}$ ）， $c$ 为水中声速（约 $1480\ \mathrm{m/s}$ ）， $v$ 为撞击法向速度（m/s）。两式相差 $2c/v$ 倍，对 $v=5\ \mathrm{m/s}$ 相差 592 倍，因此报告峰值时必须说明它对应哪一种机理。

一次可核对的手算：取 $\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$ 、 $c=1480\ \mathrm{m/s}$ 、 $v=5.0\ \mathrm{m/s}$ 。则

p_{\mathrm{ac}}=1000\times1480\times5.0=7.40\times10^{6}\ \mathrm{Pa}=7.40\ \mathrm{MPa},

p_{\mathrm{stag}}=\tfrac{1}{2}\times1000\times(5.0)^{2}=1.25\times10^{4}\ \mathrm{Pa}=12.5\ \mathrm{kPa} .

真实冲击峰值通常落在两者之间，且随撞击角、气垫效应与壁面柔性变化。若数值峰值达到 $50\ \mathrm{MPa}$ ，已经超过声学上界近 7 倍，基本可判定为粒子重叠导致的非物理压力尖刺。

采样频率必须按上升时间反算

冲击脉冲的上升时间 $\tau_r$ 决定所需采样频率。按信号带宽经验关系 $f_{\max}\approx0.35/\tau_r$ ，采样率至少取 $f_s\ge2f_{\max}$ ，工程上留 5 倍余量：

f_s\ge\frac{3.5}{\tau_r} .

一次手算：若冲击上升时间 $\tau_r=0.5\ \mathrm{ms}=5\times10^{-4}\ \mathrm{s}$ ，则 $f_{\max}=0.35/5\times10^{-4}=700\ \mathrm{Hz}$ ，工程采样率 $f_s\ge3.5/5\times10^{-4}=7000\ \mathrm{Hz}$ ，即输出间隔不大于 $0.143\ \mathrm{ms}$ 。若算例只按 $1\ \mathrm{ms}$ 输出（ $f_s=1000\ \mathrm{Hz}$ ），会直接漏掉峰值，报告出的峰值压力可能只有真实的 30%～50%。对 SPHERIC 二维晃荡基准（水箱宽 $1.0\ \mathrm{m}$ 、水深 $0.1\ \mathrm{m}$ 、激励周期 $1.0\ \mathrm{s}$ ），冲击发生在激励频率的约 1.2 倍处，特征时间尺度约 $0.02\ \mathrm{s}$ ，采样间隔取 $0.05\ \mathrm{ms}$ 才能稳定捕捉。

峰值统计而非单点极值

由于粒子无序性，冲击压力峰值是随机变量。正确做法是在同一测点、同一时刻窗口内对多次不同初始排布的运行做统计，报告分位数：

\bar{p}_{99}=\text{第 99 百分位压力},\qquad \sigma_p=\left(\frac{1}{M}\sum_{m=1}^{M}\left(p_{\max}^{(m)}-\bar{p}_{\max}\right)^{2}\right)^{1/2},

$M$ 为重复运行次数。判据是峰值离散度 $\sigma_p/\bar{p}_{\max}\le0.1$ ；若超过 0.3，说明结果由粒子排布主导，必须加密或用更稳健的压力公式（如 $\delta$ -SPH 的密度扩散项）。峰值随分辨率的收敛仍按观测阶估计：

p_{c}=\frac{\ln\!\left(P_{2}/P_{1}\right)}{\ln\!\left(\Delta x_{2}/\Delta x_{1}\right)} .

一次手算： $\Delta x=5,2.5,1.25\ \mathrm{mm}$ 时归一化峰值 $P_1=1.08 $、$ P_2=1.19 $、$ P_3=1.42 $（以解析峰值归一），则$ p_{c,12}=\ln(1.19/1.08)/\ln2=0.140 $，$ p_{c,23}=\ln(1.42/1.19)/\ln2=0.255$。阶次很低但为正，说明峰值尚未收敛，此时应报告"峰值未收敛"而不是给出具体数值。

冲量积分比峰值更稳健

短时压力峰值的重复性差，但压力时间积分（冲量）对采样与无序性不敏感：

I=\int_{t_1}^{t_2}p(t)\,\mathrm{d}t .

判据取相对误差 $\lvert I_{\mathrm{num}}-I_{\mathrm{ref}}\rvert/I_{\mathrm{ref}}\le5\%$ 。对冲量积分，采样间隔只需满足 $f_s\ge20f_0$ （ $f_0$ 为冲击主频），远低于峰值所需的 7000 Hz，因此当峰值不可信时，冲量往往仍可用于工程判断。诊断顺序建议为：先看冲量是否一致，再看峰值是否随加密收敛，最后才讨论峰值绝对值。

峰值提取与采样诊断脚本

import numpy as np

rho, c_water = 1000.0, 1480.0

def acoustic_pressure(rho, c, v):
    return rho * c * v

def stagnation_pressure(rho, v):
    return 0.5 * rho * v**2

def required_fs(tau_r, safety=3.5):
    """按上升时间估算工程采样率"""
    return safety / tau_r

def peak_statistics(peaks):
    peaks = np.asarray(peaks)
    return peaks.mean(), peaks.std(), np.percentile(peaks, 99)

def order(P1, P2, dx1, dx2):
    return np.log(P2 / P1) / np.log(dx2 / dx1)

v = 5.0
print("p_ac = %.3e Pa, p_stag = %.3e Pa" % (acoustic_pressure(rho, c_water, v),
                                            stagnation_pressure(rho, v)))
print("required fs =", required_fs(0.5e-3), "Hz")     # 7000 Hz
print("order p12 =", round(order(1.08, 1.19, 0.005, 0.0025), 3))  # 0.140

失败模式与判定试验

现象	根因	判定试验
峰值压力超过声学上界数倍	粒子重叠，压力由状态方程爆出	与 $\rho c v=7.40\ \mathrm{MPa}$ 比较，超界即判非物理
换一次输出间隔峰值差一倍	采样频率低于冲击上升时间要求	按 $f_s\ge3.5/\tau_r$ 反算，把间隔缩到 $0.143\ \mathrm{ms}$ 以下
同一算例重复运行峰值离散大	结果由初始粒子排布主导	统计 $M\ge10$ 次运行的 $\sigma_p/\bar{p}_{\max}$
峰值随加密不收敛	空间分辨率不足以解析射流头部	计算 $p_c$ ，若低于 0.3 则报告"未收敛"
冲量一致但峰值偏高	峰值尖刺仅影响瞬时，不影响积分	比较 $I$ 的相对误差是否在 5% 内
测点压力出现高频振荡	声波在测点与壁面间来回反射	把测点移离壁面 $0.05\ \mathrm{m}$ 重测

复核与参考文献

通过条件：峰值不超 $\rho c v$ 、 $f_s\ge3.5/\tau_r$ 、 $\sigma_p/\bar{p}_{\max}\le0.1$ 、冲量误差 $\le5\%$ 。参考文献：

Wagner, H., “Über Stoß- und Gleitvorgänge an der Oberfläche von Flüssigkeiten,” Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 12(4), 1932, pp. 193–215.
SPHERIC, “SPHERIC Benchmark Test Cases,” ERCOFTAC SPHERIC Workshop benchmark suite.
Monaghan, J. J., “Simulating Free Surface Flows with SPH,” Journal of Computational Physics, 110(2), 1994, pp. 399–406.
Koshizuka, S., Oka, Y., “Moving-Particle Semi-Implicit Method for Fragmentation of Incompressible Fluid,” Nuclear Science and Engineering, 123(3), 1996, pp. 421–434.
Cummins, S. J., Rudman, M., “An SPH projection method,” Journal of Computational Physics, 152(2), 1999, pp. 584–607.
Antuono, M., Colagrossi, A., Marrone, S., “Numerical diffusive terms in weakly-compressible SPH schemes,” Computer Physics Communications, 183(12), 2012, pp. 2570–2580.
Violeau, D., Fluid Mechanics and the SPH Method: Theory and Applications, Oxford University Press, 2012.