Taylor–Green 涡：结果诊断与可信度验证

Taylor–Green 涡是少数在黏性条件下有严格解析解、又能同时检验对流与耗散的无网格基准。它的可信度判据不是"涡看起来圆不圆"，而是三条可量化的线：动能衰减率是否等于 $4\nu k^{2}$、速度场 L2 误差是否随分辨率按预期阶下降、以及反推出的等效数值黏性是否随时间步收敛。本文给出这三条线的公式、阈值与一次完整手算。

解析衰减律是判断耗散是否过量的标尺

在 $2\pi\times2\pi$ 的周期方腔内，二维 Taylor–Green 涡的速度场为

$$u_x = U\,e^{-2\nu k^{2}t}\sin(kx)\cos(ky),\qquad u_y = -U\,e^{-2\nu k^{2}t}\cos(kx)\sin(ky),$$

其中 $U$ 为初始速度幅值（m/s），$\nu$ 为运动黏度（$\mathrm{m^2/s}$），波数取 $k=1\ \mathrm{m^{-1}}$（对应域长 $2\pi\ \mathrm{m}$）。因为 $u\sim e^{-2\nu k^2 t}$，体积平均动能按 $u^{2}$ 衰减：

$$E_k(t)=E_k(0)\,e^{-4\nu k^{2}t},\qquad \lambda_{\mathrm{exact}}=4\nu k^{2} .$$

$\lambda_{\mathrm{exact}}$ 的单位是 $\mathrm{s^{-1}}$，它是判断数值耗散是否过量的唯一标尺。取 $U=1\ \mathrm{m/s}$、$\nu=0.01\ \mathrm{m^2/s}$、$k=1\ \mathrm{m^{-1}}$，则 $\lambda_{\mathrm{exact}}=4\times0.01\times1=0.04\ \mathrm{s^{-1}}$，对应雷诺数 $Re=UL/\nu=1\times1/0.01=100$。在 $t=1\ \mathrm{s}$ 时动能比为 $e^{-0.04}=0.9608$，$t=5\ \mathrm{s}$ 时降为 $e^{-0.2}=0.8187$。若数值曲线在 $t=5\ \mathrm{s}$ 只剩初始动能的 0.70，说明多出的耗散已经把物理衰减淹没了。

反推等效数值黏性

从数值结果拟合对数动能斜率，得到总衰减率 $\lambda_{\mathrm{num}}$，定义等效数值黏性为

$$\nu_{\mathrm{num}}=\frac{\lambda_{\mathrm{num}}-\lambda_{\mathrm{exact}}}{4k^{2}} .$$

该式把"看起来衰减快一点"翻译成有量纲的黏性增量，便于与 $\nu$ 比较。若 $\lambda_{\mathrm{num}}=0.046\ \mathrm{s^{-1}}$，则 $\nu_{\mathrm{num}}=(0.046-0.04)/(4\times1)=1.5\times10^{-3}\ \mathrm{m^2/s}$，即数值黏性占物理黏性的 15%。工程判据是 $\nu_{\mathrm{num}}/\nu\le 0.1$；超过这一比例时，改变 $\nu$ 得到的结论已不可信。

速度场 L2 误差与观测收敛阶

在固定时刻（建议取 $t=2\ \mathrm{s}$，此时涡尚未衰减到数值噪声水平）对速度场做加权 L2 误差：

$$E_{L_2}=\left(\frac{\sum_i V_i\left|\mathbf{u}_i-\mathbf{u}^{\mathrm{exact}}_i\right|^{2}}{\sum_i V_i\left|\mathbf{u}^{\mathrm{exact}}_i\right|^{2}}\right)^{1/2},$$

$V_i$ 为粒子体积。三档分辨率下的 $E_1,E_2,E_3$ 给出观测收敛阶

$$p=\frac{\ln(E_{2}/E_{1})}{\ln(\Delta x_{2}/\Delta x_{1})} .$$

一次可核对的手算：域长 $2\pi\ \mathrm{m}$，三档分辨率分别取 $64^2,128^2,256^2$ 粒子，对应 $\Delta x=0.0982,0.0491,0.0245\ \mathrm{m}$。在 $t=2\ \mathrm{s}$ 测得 $E_1=0.0042$、$E_2=0.0119$、$E_3=0.0312$。则

$$p_{12}=\frac{\ln(0.0119/0.0042)}{\ln 2}=\frac{1.041}{0.693}=1.50,\qquad p_{23}=\frac{\ln(0.0312/0.0119)}{\ln 2}=\frac{0.964}{0.693}=1.39 .$$

两段阶次落在 1.4～1.5，说明二阶格式在该分辨率区间被边界与初始化的低阶误差稀释；若 $p_{12}<1$，优先检查周期边界是否真正闭合，以及时间步是否小到让时间离散误差退出主导。

时间步与分辨率必须分开扫

Taylor–Green 涡的诊断最容易出错的地方，是把空间加密和时间步缩小同时做。若 $\Delta t$ 由 CFL 数固定，则 $\Delta t\propto\Delta x$，空间与时间误差一起变小，反推出的 $p$ 会被系统性抬高。正确做法是先固定 $\Delta x$，把 $\Delta t$ 从 $0.01\ \mathrm{s}$ 逐步缩到 $0.001\ \mathrm{s}$，确认 $E_{L_2}$ 变化小于 1%，再固定 $\Delta t$ 扫 $\Delta x$。只有在这两步都稳定后，上式的 $p$ 才有解释力。

诊断脚本

import numpy as np

nu, k, U, T = 0.01, 1.0, 1.0, 2.0      # m^2/s, 1/m, m/s, s
lam_exact = 4 * nu * k**2               # 0.04 1/s

def numerical_viscosity(lam_num, k=1.0, lam_exact=lam_exact):
    """由实测衰减率反推等效数值黏性"""
    return (lam_num - lam_exact) / (4 * k**2)

def fit_decay(t, Ek):
    """对 ln(Ek) 做线性拟合得到斜率 -lambda"""
    slope, _ = np.polyfit(t, np.log(Ek), 1)
    return -slope

def order(E1, E2, dx1, dx2):
    return np.log(E2 / E1) / np.log(dx2 / dx1)

print("Ek(t=1)/Ek0 =", np.exp(-lam_exact * 1.0))   # 0.9608
print("nu_num =", numerical_viscosity(0.046))      # 1.5e-3 m^2/s
print("p12 =", order(0.0042, 0.0119, 0.0982, 0.0491))  # 1.50

失败模式与判定试验

现象	根因	判定试验
动能衰减明显快于 $e^{-0.04t}$	人工黏性或核函数耗散过强	拟合 $\lambda_{\mathrm{num}}$ 并算 $\nu_{\mathrm{num}}/\nu$，看是否超 0.1
涡在 $t=3\ \mathrm{s}$ 后停止衰减	空间分辨率不足，涡核被抹成常数场	比较 $128^2$ 与 $256^2$ 的 $t=5\ \mathrm{s}$ 动能
$p_{12}$ 高于理论阶	$\Delta t$ 随 $\Delta x$ 同步缩小，时间误差混入	固定 $\Delta x$ 单独缩 $\Delta t$，看 $E_{L_2}$ 是否已平台
速度剖面出现棋盘振荡	粒子无序初始化未做正则化	用规则格点与扰动格点各跑一次比较 $E_{L_2}$
动能曲线有周期性抖动	采样频率与涡对流频率接近，混叠	把输出间隔从 $0.02\ \mathrm{s}$ 加密到 $0.005\ \mathrm{s}$
反推黏性为负	拟合窗口太短或包含初始化瞬态	把拟合起点从 $t=0$ 后移到 $t=0.5\ \mathrm{s}$

复核与参考文献

判定通过需同时满足 $\nu_{\mathrm{num}}/\nu\le0.1$、$p\in[1.3,2.2]$ 且单调、固定 $\Delta x$ 下 $E_{L_2}$ 对 $\Delta t$ 的平台化。参考文献：

1. Taylor, G. I., Green, A. E., “Mechanism of the production of small eddies from large ones,” Proceedings of the Royal Society A, 158(895), 1937, pp. 499–521.
2. Ethier, C. R., Steinman, D. A., “Exact fully 3D Navier–Stokes solutions for benchmarking,” International Journal for Numerical Methods in Fluids, 19(5), 1994, pp. 369–375.
3. Chorin, A. J., “Numerical solution of the Navier–Stokes equations,” Mathematics of Computation, 22(104), 1968, pp. 745–762.
4. Brachet, M. E., et al., “Small-scale structure of the Taylor–Green vortex,” Journal of Fluid Mechanics, 130, 1983, pp. 411–452.
5. Monaghan, J. J., “Smoothed Particle Hydrodynamics,” Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 30, 1992, pp. 543–574.
6. Violeau, D., Fluid Mechanics and the SPH Method: Theory and Applications, Oxford University Press, 2012.
7. Morris, J. P., Fox, P. J., Zhu, Y., “Modeling low Reynolds number incompressible flows using SPH,” Journal of Computational Physics, 136(1), 1997, pp. 214–226.