规则波传播：结果诊断与可信度验证

规则波基准的诊断难点在于三种误差会互相伪装：数值耗散让波幅衰减、数值色散让相速偏快或偏慢、下游反射让波面出现驻波条纹。若不分开测量，很容易把反射造成的幅值振荡当成耗散。本文以线性色散关系为标尺，给出相速、幅值、反射三类诊断量的阈值与一次迭代求解波数的手算。

色散关系给出相速参照

对水深 $h$、周期 $T$ 的线性规则波，角频率 $\omega=2\pi/T$，波数 $k$ 满足色散关系

$$\omega^{2}=g\,k\tanh(kh),$$

而相速为

$$c=\frac{\omega}{k}=\sqrt{\frac{g}{k}\tanh(kh)},\qquad c_0=\frac{gT}{2\pi}\ \ (\text{深水极限}).$$

$c_0$ 是深水相速（m/s），用作快速量级估计。该式的用途是给出任意水深下的解析相速，作为数值相速的对照。

一次可核对的手算（深水）：取 $h=1.0\ \mathrm{m}$、$T=1.0\ \mathrm{s}$，则 $\omega=2\pi/1.0=6.283\ \mathrm{rad/s}$，深水波数 $k_0=\omega^{2}/g=39.48/9.81=4.024\ \mathrm{m^{-1}}$。因 $k_0h=4.024\gg\pi$，$\tanh(k_0h)\approx1.000$，深水假设成立，相速 $c_0=gT/(2\pi)=9.81/6.283=1.561\ \mathrm{m/s}$，波长 $L=c_0T=1.561\ \mathrm{m}$。

一次可核对的手算（有限水深）：取 $h=0.5\ \mathrm{m}$、$T=2.0\ \mathrm{s}$，则 $\omega=2\pi/2.0=3.142\ \mathrm{rad/s}$，$\omega^{2}/g=0.9859\ \mathrm{m^{-1}}$。需迭代求解 $k\tanh(kh)=0.9859$：取 $k=1.55$，$kh=0.775$，$\tanh(0.775)=0.6498$，乘积 $1.007$；取 $k=1.52$，$kh=0.760$，$\tanh=0.6418$，乘积 $0.976$；取 $k=1.545$，$kh=0.7725$，$\tanh=0.6485$，乘积 $1.002$；取 $k=1.535$，乘积 $0.993$。插值得 $k\approx1.538\ \mathrm{m^{-1}}$，相速 $c=\omega/k=3.142/1.538=2.043\ \mathrm{m/s}$，波长 $L=2\pi/k=4.085\ \mathrm{m}$。深水估计会给出 $c_0=9.81\times2.0/6.283=3.123\ \mathrm{m/s}$，比真实相速高 53%，这正是有限水深必须迭代求解的原因。

相速误差与幅值衰减系数

在沿程两个测点 $x_1,x_2$ 提取波面相位 $\phi$，相速由相位差反算：

$$c_{\mathrm{num}}=\frac{\omega\,(x_2-x_1)}{\Delta\phi},$$

相速相对误差 $\varepsilon_c=\lvert c_{\mathrm{num}}-c\rvert/c$，工程阈值取 $\le2\%$。幅值按指数衰减拟合：

$$A(x)=A_0\,e^{-\alpha x},\qquad \alpha=\frac{\ln\!\left(A_1/A_2\right)}{x_2-x_1},$$

$\alpha$ 的单位是 $\mathrm{m^{-1}}$。对上述有限水深算例，若 $A_0=0.05\ \mathrm{m}$，在$x=10\ \mathrm{m}$处测得$A=0.045\ \mathrm{m}$，则$\alpha=\ln(0.05/0.045)/10=0.0105\ \mathrm{m^{-1}}$，等效到 5 个波长（$5\times4.085=20.4\ \mathrm{m}$）后幅值降到$e^{-0.214}=0.807$，即损失 19%——这一量级的耗散会严重污染后续的破碎与爬高分析，需要先降低人工黏性。

反射系数的分离测量

反射会同时改变幅值与相位，必须单独标定。用三点法（Goda 两点法）在波腹与波节处分别读取波高 $H_{\max}$ 与 $H_{\min}$，反射系数为

$$K_R=\frac{H_{\max}-H_{\min}}{H_{\max}+H_{\min}} .$$

消波区的验收阈值通常取 $K_R\le0.05$；若$K_R>0.1$，波面会呈现明显的空间包络，此时先延长消波区或改用主动吸收边界，再评估耗散。诊断顺序应是：先测$K_R$，再测$\alpha$，最后测$c$，因为反射会同时污染后两项。

三档分辨率的波面误差

波面高度 $\eta$ 的 L2 误差为

$$E_{\eta}=\left(\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\left(\eta_{n}-\eta^{\mathrm{exact}}_{n}\right)^{2}\right)^{1/2}\Big/A_0,$$

$A_0$为入射波幅（m）。三档分辨率下的观测阶仍按$p=\ln(E_2/E_1)/\ln(\Delta x_2/\Delta x_1)$估计。一次手算：$\Delta x=8,4,2\ \mathrm{mm}$时$E_1=0.018$、$E_2=0.043$、$E_3=0.101$，得

$$p_{12}=\frac{\ln(0.043/0.018)}{\ln 2}=\frac{0.871}{0.693}=1.26,\qquad p_{23}=\frac{\ln(0.101/0.043)}{\ln 2}=\frac{0.854}{0.693}=1.23 .$$

阶次约 1.25 且单调，说明波面误差由自由表面一致性误差主导；若阶次接近 0，通常是每波长粒子数不足，建议 $L/\Delta x\ge40$。对本例 $L=4.085\ \mathrm{m}$、$\Delta x=8\ \mathrm{mm}$，$L/\Delta x=511$，远超门槛，因此剩余误差来自时间积分与边界。

相速与衰减诊断脚本

import numpy as np

g, h, T = 9.81, 0.5, 2.0
omega = 2 * np.pi / T
target = omega**2 / g

def solve_k(target, h, k=1.5, tol=1e-10):
    """迭代求解 k*tanh(kh)=omega^2/g"""
    for _ in range(200):
        f = k * np.tanh(k * h) - target
        df = np.tanh(k * h) + k * h * (1 - np.tanh(k * h)**2)
        k -= f / df
        if abs(f) < tol:
            break
    return k

k = solve_k(target, h)
c = omega / k
print("k = %.4f 1/m, c = %.4f m/s, L = %.4f m" % (k, c, 2*np.pi/k))

def damping_coeff(A1, A2, x1, x2):
    return np.log(A1 / A2) / (x2 - x1)

def reflection_coeff(Hmax, Hmin):
    return (Hmax - Hmin) / (Hmax + Hmin)

def order(E1, E2, dx1, dx2):
    return np.log(E2 / E1) / np.log(dx2 / dx1)

print("alpha =", damping_coeff(0.05, 0.045, 0.0, 10.0), "1/m")
print("KR =", reflection_coeff(0.104, 0.096))
print("p12 =", order(0.018, 0.043, 0.008, 0.004))

失败模式与判定试验

现象	根因	判定试验
相速偏快但幅值不变	数值色散，每波长粒子数不足	把 $L/\Delta x$ 从 20 提到 60，看 $\varepsilon_c$ 是否回落
波面出现空间包络	下游反射形成驻波	用 $K_R=(H_{\max}-H_{\min})/(H_{\max}+H_{\min})$ 量化，看是否超 0.05
幅值沿程持续衰减	人工黏性过量或自由表面耗散	拟合 $\alpha$，与 5 波长内 5% 损失的目标比较
相速误差随水深突增	误用深水公式而实际为有限水深	用 $k\tanh(kh)=\omega^2/g$ 迭代求 $k$，与 $gT/2\pi$ 对比
波面在造波机附近高频抖动	造波边界冲量过强，产生寄生高频波	把造波速度斜坡从 0.5T 延长到 2T
加密后波幅反而更小	时间步随分辨率缩小，数值耗散未同比例下降	固定 $\Delta x$ 单独缩 $\Delta t$，看 $\alpha$ 是否平台

复核与参考文献

通过条件：$K_R\le0.05$、$\varepsilon_c\le2%$、5 波长内幅值损失$\le5%$、$p\in[1.0,2.2]$ 且单调。参考文献：

1. Dean, R. G., Dalrymple, R. A., Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists, World Scientific, 1991.
2. Goda, Y., Suzuki, Y., “Estimation of incident and reflected waves in random wave experiments,” Proceedings of the 15th Coastal Engineering Conference, ASCE, 1976, pp. 828–845.
3. Monaghan, J. J., “Simulating Free Surface Flows with SPH,” Journal of Computational Physics, 110(2), 1994, pp. 399–406.
4. Antuono, M., Colagrossi, A., Marrone, S., “Numerical diffusive terms in weakly-compressible SPH schemes,” Computer Physics Communications, 183(12), 2012, pp. 2570–2580.
5. SPHERIC, “SPHERIC Benchmark Test Cases,” ERCOFTAC SPHERIC Workshop benchmark suite.
6. Violeau, D., Fluid Mechanics and the SPH Method: Theory and Applications, Oxford University Press, 2012.
7. Liu, G. R., Liu, M. B., Smoothed Particle Hydrodynamics: A Meshfree Particle Method, World Scientific, 2003.