多体系统：工程设置与参数选择

多体模型的参数分两类：一类是几何与惯性（质心位置、惯量张量、关节轴），另一类是求解设置（重力、状态选择、闭环约束）。前者写错会让结果整体偏移，后者写错通常直接导致过定或奇异。本文用长 0.5 m、质量 2.0 kg 的单摆作为可手算基线，再扩展到闭环四连杆，把两类参数都落到具体取值上。

World：重力与参考系

Modelica.Mechanics.MultiBody.World 是全模型唯一的全局参考系，且必须由 inner 声明。重力通过两个参数描述：gravityType 与方向向量 n。默认 gravityType=Modelica.Mechanics.MultiBody.Types.GravityTypes.UniformGravity、n={0,-1,0}、g=9.81，表示沿 −y 方向、加速度 9.81 m/s²。若把 n 写成 {0,1,0} 而忘记改 g 的符号，所有构件会向上"掉落"，且能量单调增加——这是最快的识别方法。animateWorld 与 animateGravity 建议在批量扫描时关闭，动画渲染可占整体运行时间的一半以上。

Body：质心与惯量张量

Parts.Body 的参数 r_CM 是质心在自身坐标系中的位置，I_11、I_22、I_33 是绕质心的主惯量。对长 0.5 m、质量 2.0 kg 的均质细杆：

$$J_{cm}=\frac{1}{12}ml^2=\frac{1}{12}\times2.0\times0.25=0.0417\ \mathrm{kg\cdot m^2}$$

若绕端点转动，则用平行轴定理 $J_{pivot}=J_{cm}+m(l/2)^2=0.0417+2.0\times0.0625=0.1667$ kg·m²。把 I_11 误填成 0.0417 而实际应为 0.1667，摆动周期会偏短约 20%。用点质量近似时 J=m l²=2.0×0.25=0.5 kg·m²，比真实细杆大 3 倍，所以细长构件不能简化为点质量。运动方程由牛顿—欧拉给出：

$$m\,a_C=\sum F, \qquad J\,\alpha+\omega\times\left(J\,\omega\right)=\sum \tau$$

第二项中的叉乘在高速旋转时不可忽略；低速机构可近似省略，但转速超过 1000 r/min 时必须保留。

单摆周期与能量校核

小角度单摆周期只依赖摆长与重力：

$$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

取 l=0.5 m、g=9.81 m/s²，得 T=2π√0.05097=2π×0.2258=1.4185 s，即约 1.42 s。从水平位置释放时势能变化 mgh=2.0×9.81×0.5=9.81 J，全部转为动能时速度 v=√(2gh)=√9.81=3.132 m/s。这两个数字是验收多体模型的锚点：仿真给出的摆动周期与最低点速度若分别偏离 1.42 s 与 3.13 m/s 超过 2%，先查惯量张量，再查重力方向。大摆角时周期会因非线性而变长，摆角 30° 时实际周期约为小角值的 1.017 倍，即 1.443 s，用这一条可以判断模型是否保留了非线性项。

关节约束与闭环初始化

Joints.Revolute(n={0,1,0}) 提供 1 个自由度并消去 5 个约束，Joints.Prismatic(n={0,1,0}) 同理。开链机构只需给每个关节一个角度或角速度初值；闭环机构（如四连杆）会出现冗余约束，必须把其中一个转动副换成 Modelica.Mechanics.MultiBody.Joints.RevolutePlanarLoopConstraint，否则约束方程线性相关，编译时报奇异。闭环还需要 Modelica.Mechanics.MultiBody.Joints.Assemblies 中的装配关节或显式给出 phi_start 使几何闭合；几何不闭合时求解器会在第一步产生巨大加速度并直接发散。姿态用 Frames.Orientation 表示，内部以旋转矩阵配合四元数积分，四元数须满足

$$q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1$$

仿真中若该残差增长到 1e-6 以上，说明积分容差过松，应把 Tolerance 从 1e-6 收紧到 1e-8。

两段可运行的机构

model SimplePendulum "单摆：可手算基线"
  inner Modelica.Mechanics.MultiBody.World world(
    gravityType=Modelica.Mechanics.MultiBody.Types.GravityTypes.UniformGravity,
    g=9.81, n={0,-1,0}, animateWorld=true);
  Modelica.Mechanics.MultiBody.Parts.FixedTranslation pivot(r={0,0.5,0});
  Modelica.Mechanics.MultiBody.Joints.Revolute rev(
    n={0,1,0}, phi(start=1.5708, fixed=true), w(start=0, fixed=true));
  Modelica.Mechanics.MultiBody.Parts.Body rod(
    m=2.0, r_CM={0,-0.25,0}, cylinderDiameter=0.03,
    I_11=0.0417, I_22=0.0001, I_33=0.0417);
equation
  connect(world.frame_b, pivot.frame_a);
  connect(pivot.frame_b, rev.frame_a);
  connect(rev.frame_b, rod.frame_a);
  annotation(experiment(StopTime=5, Tolerance=1e-8, Interval=0.005));
end SimplePendulum;

model FourBarLoop "闭环四连杆：使用平面回路约束"
  inner Modelica.Mechanics.MultiBody.World world(animateWorld=true);
  Modelica.Mechanics.MultiBody.Joints.Revolute ground(
    n={0,1,0}, phi(start=0, fixed=true), w(start=0, fixed=true));
  Modelica.Mechanics.MultiBody.Parts.BodyShape crank(
    m=0.5, r={0.1,0,0}, r_CM={0.05,0,0}, I_11=0.001, I_22=0.001, I_33=0.001);
  Modelica.Mechanics.MultiBody.Joints.Revolute coupler(
    n={0,1,0}, phi(start=1.2, fixed=true), w(start=0, fixed=true));
  Modelica.Mechanics.MultiBody.Parts.BodyShape rocker(
    m=0.5, r={0.15,0,0}, r_CM={0.075,0,0}, I_11=0.002, I_22=0.002, I_33=0.002);
  Modelica.Mechanics.MultiBody.Joints.RevolutePlanarLoopConstraint loop(
    n={0,1,0});
  Modelica.Mechanics.MultiBody.Parts.FixedTranslation frame(r={0.3,0,0});
equation
  connect(world.frame_b, ground.frame_a);
  connect(ground.frame_b, crank.frame_a);
  connect(crank.frame_b, coupler.frame_a);
  connect(coupler.frame_b, rocker.frame_a);
  connect(rocker.frame_b, loop.frame_a);
  connect(loop.frame_b, frame.frame_a);
  connect(frame.frame_b, world.frame_b);
end FourBarLoop;

多体机构失效与判定试验

现象	根因	判定试验
构件向上加速、总能量单调增	World 的 n 与 g 符号不一致	把 n 改为 {0,-1,0}，势能应随高度上升
编译报约束奇异	闭环中全部用了普通 Revolute	把其中一个换成 RevolutePlanarLoopConstraint
第一步就发散、加速度达 1e6	闭环几何在初始位形不闭合	检查各杆长之和与固定点距离是否一致
摆动周期比 1.42 s 短 20%	惯量张量用了绕质心值代替绕端点值	用平行轴定理重算 J_pivot=0.1667
能量在 10 s 内漂移 5%	积分容差过松或四元数未归一	把 Tolerance 收紧到 1e-8 并监控四元数残差

多体参数的验收判据与依据

交付多体模型时至少给出四项证据：一是单摆周期 1.42 s 与最低点速度 3.13 m/s 的偏差；二是总机械能（动能加势能）在 10 s 内的漂移百分比，应小于 0.1%；三是四元数归一化残差的最大值；四是闭环机构中各关节约束反力的量级，用于判断是否出现了不合理的巨大内力。这四项分别对应惯量、能量、姿态积分与约束装配，缺一项就无法判定结果可信。

1. Modelica Association. Modelica Standard Library 4.0.0, Modelica.Mechanics.MultiBody UsersGuide, 2020.
2. Modelica Association. Modelica Language Specification, Version 3.6, 2023.
3. Otter M., Elmqvist H., Mattsson S.E. “The new Modelica MultiBody library”, Proceedings of the 3rd International Modelica Conference, Linköping, 2003.
4. Featherstone R. Rigid Body Dynamics Algorithms, Springer, 2008.
5. Schiehlen W., Eberhard P. Applied Dynamics, Springer, 2014.
6. Fritzson P. Principles of Object-Oriented Modeling and Simulation with Modelica 3.3, Wiley-IEEE Press, 2015.