转动机械：工程设置与参数选择

转动系统的设置核心是三个量：惯量 J、扭转刚度 c 与阻尼 d，其余参数都由它们派生。本文取 J=0.05 kg·m²、c=1200 N·m/rad、d=2.5 N·m·s/rad 的传动轴为基线，先确认角度与转矩的配对方向，再把频率、阻尼、加速时间与齿轮速比逐项算成可核对的数字。

角度是势变量，转矩是流变量

Modelica.Mechanics.Rotational.Interfaces.Flange_a 与 Flange_b 中，角度 phi 是势变量，转矩 tau 是带 flow 前缀的流变量。连接后角度相等、转矩代数和为零：

$$\sum_j \tau_j=0, \qquad \varphi_1=\varphi_2=\cdots=\varphi_n$$

Inertia 内部的运动方程是 $J\,d\omega/dt=\tau_a+\tau_b$，并伴随 $\omega=d\varphi/dt$。扭转弹簧与阻尼器的本构关系为

$$\tau_{spring}=c\left(\varphi_a-\varphi_b-\varphi_{rel0}\right), \qquad \tau_{damper}=d\left(\omega_a-\omega_b\right)$$

其中 phi_rel0 是自由角。设错 0.01 rad 相当于预加 1200×0.01=12 N·m 的常转矩，稳态角会偏 0.01 rad 而振荡频率不变，这就是区分"刚度错"与"偏置错"的判据。

惯量与扭转刚度的取值

惯量由几何与密度积分得到，实心圆柱 $J=\frac{1}{2}mr^2$。取直径 0.2 m、质量 10 kg 的钢制联轴器节，r=0.1 m，则 J=0.5×10×0.01=0.05 kg·m²，与基线一致。扭转刚度由轴段尺寸给出：

$$c=\frac{G I_p}{L}, \qquad I_p=\frac{\pi d^4}{32}$$

钢的 G=79.3 GPa，轴径 d=0.04 m 时 I_p=π×0.04⁴/32=2.513e-7 m⁴，取轴长 L=0.5 m，则 c=79.3e9×2.513e-7/0.5=39860 N·m/rad，远高于基线的 1200 N·m/rad——说明基线对应的是长轴或柔性联轴器，而不是短粗轴段。参数取值必须回到几何来源，否则频率会被高估数十倍。

频率、阻尼与加速时间的手算

二阶特征量与前两节参数直接相关：

$$\omega_0=\sqrt{\frac{c}{J}}, \qquad \zeta=\frac{d}{2\sqrt{cJ}}, \qquad \alpha=\frac{\tau}{J}$$

代入基线参数得 ω₀=√(1200/0.05)=√24000=154.9 rad/s，即 f₀=24.7 Hz；ζ=2.5/(2×√60)=2.5/15.49=0.161，属欠阻尼；欠阻尼超调约 exp(−πζ/√(1−ζ²))=exp(−0.5125)=0.599，即首次越过目标约 60%。若把 d 提到 8 N·m·s/rad，ζ=0.516，超调降到约 15%，这是调整阻尼器的直接依据。再看加速能力：3 kW 电机在 1500 r/min 时角速度 ω=2π×1500/60=157.1 rad/s，输出转矩 τ=P/ω=3000/157.1=19.1 N·m，角加速度 α=19.1/0.05=382 rad/s²，从静止升到 157.1 rad/s 需 157.1/382=0.411 s。这三个数字（19.1 N·m、382 rad/s²、0.411 s）应在仿真里一一复现。

齿轮速比与功率守恒

IdealGear 是无损理想元件，速比 ratio=i 时满足 $\varphi_a=i\,\varphi_b$ 与 $\tau_b=-i\,\tau_a$，功率严格守恒 $\tau_a\omega_a+\tau_b\omega_b=0$。取 i=3.5，输入 1500 r/min 时输出 428.6 r/min，输入 19.1 N·m 时输出 66.8 N·m，两侧功率都是 3.0 kW。若仿真中输出转矩不等于 66.8 N·m，先检查 ratio 是否写成 1/3.5；若功率不守恒，则说明混入了非理想元件而未相应调整。真实齿轮箱应改用 Modelica.Mechanics.Rotational.Components.LossyGear 并给出 lossTable 或恒定效率，此时输出转矩按效率 0.96 折减为 64.1 N·m，功率损耗 120 W 会体现为温升。

两段可运行的传动模型

model TorsionalShaft "单惯量扭转振动"
  Modelica.Mechanics.Rotational.Components.Fixed fixed;
  Modelica.Mechanics.Rotational.Components.Spring spring(c=1200, phi_rel0=0);
  Modelica.Mechanics.Rotational.Components.Damper damper(d=2.5);
  Modelica.Mechanics.Rotational.Components.Inertia inertia(
    J=0.05, phi(start=0, fixed=true), w(start=0, fixed=true));
  Modelica.Mechanics.Rotational.Sources.Torque torque;
  Modelica.Blocks.Sources.Step step(height=19.1, startTime=0.2);
equation
  connect(step.y, torque.tau);
  connect(torque.flange, inertia.flange_a);
  connect(inertia.flange_b, spring.flange_a);
  connect(inertia.flange_b, damper.flange_a);
  connect(spring.flange_b, fixed.flange);
  connect(damper.flange_b, fixed.flange);
  annotation(experiment(StopTime=1.0, Tolerance=1e-9, Interval=0.0005));
end TorsionalShaft;

model GearedDrive "电机 + 减速箱 + 负载惯量"
  Modelica.Mechanics.Rotational.Components.Inertia motor(J=0.02,
    phi(start=0, fixed=true), w(start=0, fixed=true));
  Modelica.Mechanics.Rotational.Components.IdealGear gear(ratio=3.5);
  Modelica.Mechanics.Rotational.Components.Inertia load(J=0.5,
    w(start=0, fixed=true));
  Modelica.Mechanics.Rotational.Sources.Torque motorTorque;
  Modelica.Blocks.Sources.Constant cmd(k=19.1);
equation
  connect(cmd.y, motorTorque.tau);
  connect(motorTorque.flange, motor.flange_a);
  connect(motor.flange_b, gear.flange_a);
  connect(gear.flange_b, load.flange_a);
end GearedDrive;

转动系统失效与判定试验

现象	根因	判定试验
编译报角度过定	同一轴上多处设 phi(fixed=true)	只保留一处固定角，其余改 start
频率为手算值的 2 倍	惯量 J 用的是实心圆柱公式但质量只算了一半	核对 J=½mr² 的 m 与几何体积是否一致
稳态角偏移而频率正常	Spring 的 phi_rel0 不等于自由角	把 phi_rel0 归零，偏移应消失
齿轮两侧功率不相等	误用 LossyGear 却未给 lossTable	检查是否切换了元件类型并补齐效率表
加速时间比 0.411 s 长 3 倍	负载惯量折算到电机侧时未乘 i²	核对 J_eq=J_load/i²=0.5/12.25=0.0408 kg·m²

转动参数的验收判据与依据

至少核对四项：一是 f₀=24.7 Hz 与仿真振荡周期的偏差，应小于 3%；二是 19.1 N·m 恒转矩下 0.411 s 升到 157.1 rad/s 的加速时间；三是 IdealGear 两侧功率之和的绝对值，应小于 1e-6 W；四是把负载惯量折算到电机侧后 J_eq=J_motor+J_load/i²=0.02+0.0408=0.0608 kg·m²，用这一等效值重算加速时间，应与逐元件仿真一致。

1. Modelica Association. Modelica Standard Library 4.0.0, Modelica.Mechanics.Rotational UsersGuide, 2020.
2. Modelica Association. Modelica Language Specification, Version 3.6, 2023.
3. Rao S.S. Mechanical Vibrations, 6th ed., Pearson, 2017.
4. Shigley J.E., Budynas R.G., Nisbett J.K. Shigley’s Mechanical Engineering Design, 11th ed., McGraw-Hill, 2020.
5. Tiller M. Introduction to Physical Modeling with Modelica, Kluwer Academic Publishers, 2001.
6. Otter M., Elmqvist H., Mattsson S.E. “Hybrid modeling in Modelica based on the synchronous data flow principle”, IEEE International Symposium on Computer Aided Control System Design, 1999.