平动机械：工程设置与参数选择

平动机械最容易出错的地方是符号：Flange_a 与 Flange_b 谁推谁、弹簧的 s_rel0 以哪一端为零、外力的正方向指向哪里。本文用 1.5 kg 质量块、2000 N/m 弹簧与 15 N·s/m 阻尼器这一组具体参数，把正向约定、初值、限位与频率换算全部走一遍，所有数字都可以在运行前手算得到。

位移是势变量，力是流变量

Modelica.Mechanics.Translational.Interfaces.Flange_a 与 Flange_b 携带两个量：位移 s 是势变量，力 f 是带 flow 前缀的流变量。连接后相邻法兰位移相等，力代数和为零：

$$\sum_j f_j=0, \qquad s_1=s_2=\cdots=s_n$$

力平衡在 Mass 内部写成 $m\,dv/dt=f_a+f_b$，其中 f_a、f_b 是两侧法兰的流变量。由于 $v=ds/dt$，一次积分把位移与速度绑在一起，因此 Mass 需要且只需要两个初值。Spring 定义的是

$$f_{spring}=c\left(s_a-s_b-s_{rel0}\right), \qquad f_{damper}=d\left(v_a-v_b\right)$$

s_rel0 就是自由长度对应的相对位移；把 s_rel0 设错 10 mm，相当于给系统预加了 c×0.01=20 N 的常力，稳态位置会整体偏 10 mm 而频率不变——这正是用"频率对、偏置错"反推 s_rel0 错误的判据。

由参数算固有频率与阻尼比

质量—弹簧—阻尼的单自由度系统特征量为

$$\omega_0=\sqrt{\frac{c}{m}}, \qquad \zeta=\frac{d}{2\sqrt{c\,m}}, \qquad \omega_d=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$$

代入 m=1.5 kg、c=2000 N/m、d=15 N·s/m：ω₀=√(2000/1.5)=√1333.3=36.51 rad/s，即 f₀=36.51/(2π)=5.81 Hz；ζ=15/(2×√3000)=15/109.54=0.137，属明显欠阻尼；ω_d=36.51×√(1−0.0188)=36.51×0.9906=36.17 rad/s。欠阻尼超调量按 $\exp(-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2})$ 估算，得 exp(−0.4345)=0.648，即首次越过稳态值约 65%。这个数字看起来很大，但 ζ=0.137 确实对应如此强的振荡，如果仿真只给出 5% 超调，说明 Damper 的 d 被误设成约 60 N·s/m。

静态校核同样简单：施加 10 N 恒力时稳态位移 Δs=F/c=10/2000=0.005 m，即 5 mm。若模型给出 4.5 mm，先检查 s_rel0 是否被写成 0.0005 m 而不是 0。把系统从 5 mm 偏置释放，弹簧储存 0.5×2000×0.005²=0.025 J，全部转为动能时速度 v=√(2×0.025/1.5)=0.183 m/s，这一对数也可用来验收能量守恒。

初值、限位与参考方向

位移与速度初值用 s(start=..., fixed=true)、v(start=..., fixed=true) 给出。同一串联链上只能有一处固定 s，因为位移是势变量，两端都固定会过定；v 则可以在多个质量上同时固定。竖直安装时重力不会自动加入：Translational 库没有内建重力，必须显式用 Modelica.Mechanics.Translational.Sources.Force 施加 1.5×9.81=14.7 N 的常力，并确认符号与正向一致。行程限位用 Components.ElastoGap 表示弹性止挡，刚度建议比主弹簧高 2～3 个数量级，例如主弹簧 2000 N/m 时取 c=5e5 N/m、d=100 N·s/m，否则限位会退化成数值上的硬不连续。

两段可运行的模型

model MassSpringDamper "单自由度受迫振动"
  Modelica.Mechanics.Translational.Components.Fixed fixed;
  Modelica.Mechanics.Translational.Components.Spring spring(c=2000, s_rel0=0);
  Modelica.Mechanics.Translational.Components.Damper damper(d=15);
  Modelica.Mechanics.Translational.Components.Mass mass(
    m=1.5, s(start=0, fixed=true), v(start=0, fixed=true));
  Modelica.Mechanics.Translational.Sources.Force force;
  Modelica.Mechanics.Translational.Sensors.PositionSensor posSensor;
  Modelica.Blocks.Sources.Step step(height=10, startTime=0.5);
equation
  connect(step.y, force.f);
  connect(force.flange, mass.flange_a);
  connect(mass.flange_b, spring.flange_a);
  connect(mass.flange_b, damper.flange_a);
  connect(spring.flange_b, fixed.flange);
  connect(damper.flange_b, fixed.flange);
  connect(mass.flange_a, posSensor.flange);
  annotation(experiment(StopTime=2.0, Tolerance=1e-8, Interval=0.001));
end MassSpringDamper;

model GuidedCarriage "带弹性止挡与竖直重力的滑台"
  parameter Real m = 1.5 "kg";
  Modelica.Mechanics.Translational.Components.Mass carriage(
    m=m, s(start=-0.02, fixed=true), v(start=0, fixed=true));
  Modelica.Mechanics.Translational.Components.Spring pushRod(c=2000, s_rel0=0);
  Modelica.Mechanics.Translational.Components.ElastoGap stop(
    c=5e5, d=100, s_rel0=0.05);
  Modelica.Mechanics.Translational.Components.Fixed frame;
  Modelica.Mechanics.Translational.Sources.Force gravity;
  Modelica.Blocks.Sources.Constant weight(k=-m*9.81);
equation
  connect(weight.y, gravity.f);
  connect(gravity.flange, carriage.flange_a);
  connect(carriage.flange_b, pushRod.flange_a);
  connect(pushRod.flange_b, frame.flange);
  connect(carriage.flange_b, stop.flange_a);
  connect(stop.flange_b, frame.flange);
end GuidedCarriage;

平动系统失效与判定试验

现象	根因	判定试验
编译报位移过定	串联链上多处设 s(fixed=true)	只保留一端固定，其余改 start 后重编译
振荡频率对但稳态位置整体偏移	Spring 的 s_rel0 不等于自由长度	把 s_rel0 归零，偏移应消失
超调量只有 5% 而非 65%	Damper 的 d 被高估一个量级	按 ζ=d/(2√(cm)) 反算 d，核对是否为 15
质量块被限位后速度不连续	ElastoGap 刚度与主弹簧同量级	把限位刚度提高 100 倍，速度应连续
竖直系统不下落	未显式施加 m·g 的重力外力	加上 14.7 N 常力后位移应单调增加

平动参数的验收判据与依据

把三条数值证据写进交付记录：一是 f₀=5.81 Hz 与仿真峰间距的偏差，应小于 3%；二是 10 N 静载下 5 mm 稳态位移与 PositionSensor 读数的偏差；三是动能与弹簧势能之和在无阻尼工况下的漂移量，应小于峰值能量的 0.5%。这三条分别锁定刚度、静标定与能量守恒，任一不通过就不必继续加密输出步长。

1. Modelica Association. Modelica Standard Library 4.0.0, Modelica.Mechanics.Translational UsersGuide, 2020.
2. Modelica Association. Modelica Language Specification, Version 3.6, 2023.
3. Rao S.S. Mechanical Vibrations, 6th ed., Pearson, 2017.
4. Tiller M. Introduction to Physical Modeling with Modelica, Kluwer Academic Publishers, 2001.
5. Otter M., Elmqvist H., Mattsson S.E. “Hybrid modeling in Modelica based on the synchronous data flow principle”, IEEE International Symposium on Computer Aided Control System Design, 1999.
6. Fritzson P. Principles of Object-Oriented Modeling and Simulation with Modelica 3.3, Wiley-IEEE Press, 2015.