时钟同步与采样系统：原理与诊断验证

用 when sample(0, Ts) 也能写出采样逻辑，但它把采样方程混进连续分区，求解器仍需在每个内部步长上求值条件表达式。Modelica 3.3 引入的时钟分区把"只在节拍上求解"写成语言级语义：分区内的方程每个节拍只求值一次，节拍之间保持不动。这既让离散控制器的建模意图显式化，也让工具能在翻译期检查时钟兼容性。时钟系统的结果有两类难以察觉的错误：节拍数与预期不符（多算或少算一个拍），以及混叠造成的假频率。前者让控制器相位整体偏移，后者让结果里出现物理上不存在的分量，而两者都不会让求解器报错。可复算的验收方式是四步：数节拍、逐拍对解析解、把采样率加倍看频率是否移动、测零阶保持的相位滞后。

时钟分区：只在节拍上求解的方程组

时钟分区的节拍时刻为

$$t_k=t_{start}+k\,T_c,\qquad k=0,1,2,\ldots$$

分区内所有方程只在 $t_k$ 求值，变量在 $(t_k, t_{k+1})$ 上保持。这与连续分区的区别不是精度而是语义：连续分区里求解器可以在任意内部时刻求值，时钟分区里不行。因此时钟分区内不能出现 der()，也不能引用另一个不同时钟分区的变量。

以 $T_c = 0.01\ \mathrm{s}$、StopTime = 1.0 为例，节拍数为 $1.0/0.01 + 1 = 101$。节拍数是一个可核对的量：输出变量中不同取值的个数应不超过节拍数。

离散滤波器与连续解的逐拍对照

一阶滤波器在 $T_s = 0.01\ \mathrm{s}$、$\tau = 0.1\ \mathrm{s}$ 下用零阶保持离散，系数 $a = e^{-T_s/\tau} = 0.9048$，阶跃响应为

$$y[k]=1-a^{k}=1-e^{-kT_s/\tau}=y_{cont}(kT_s)$$

最后一步是关键：零阶保持对一阶线性系统的离散解在节拍时刻与连续解精确相等，不是近似。所以 $y[1] = 1-0.9048 = 0.0952$，$y[2] = 1-0.8187 = 0.1813$，而连续解在 $t = 0.02\ \mathrm{s}$ 处为 $1-e^{-0.2} = 0.18127$，二者在双精度下一致。

这条性质给出一个极干净的验收阈值：任何逐拍偏差超过 $10^{-6}$ 都不是离散化误差，而是实现错误。最常见的实现错误是用一阶近似 $a = 1 - T_s/\tau = 0.9$，它给出 $y[2] = 1-0.81 = 0.19$，相对偏差 4.8%——远超阈值，一眼可辨。

model ClockAudit
  parameter Modelica.Units.SI.Time Ts = 0.01, tau = 0.1;
  Clock c = Clock(1, 100);
  discrete Real y(start = 0, fixed = true);
  discrete Integer k(start = 0, fixed = true);
  Real y_cont;
equation
  when c then
    y = previous(y) + (1 - exp(-Ts/tau))*(1 - previous(y));
    k = previous(k) + 1;
  end when;
  tau*der(y_cont) = 1 - y_cont;
  annotation(experiment(StopTime = 1.0, Tolerance = 1e-6, Interval = 1e-3));
end ClockAudit;

k 在 StopTime = 1.0 时应达到 100（从 0 开始计 100 次节拍），y 在第 2 拍应为 0.1813，y_cont 在 $t = 0.02\ \mathrm{s}$ 处应为 0.18127。三个数构成一组互相独立的验收点。

采样与保持的两种算子

previous(x) 取变量在上一个节拍的值，它只在时钟分区内可用，等价于离散时间序列里的 $x[k-1]$。hold(x) 把时钟变量转换成连续变量，取值等于最近一次节拍的值。二者方向相反：

$$x_{hold}(t)=x[k],\quad t\in[t_k,t_{k+1}),\qquad x_{prev}[k]=x[k-1]$$

混用方向会触发翻译错误。在连续方程里直接用时钟变量而不加 hold，工具报 Cannot mix clocked and continuous equations；在时钟分区里对连续变量用 previous，则报该变量不是时钟变量。这两种报错都是结构性的，调整容差或步长无效。

混叠与 Nyquist 边界

采样定理要求 $f_s > 2f_{max}$。$f_s = 100\ \mathrm{Hz}$ 时可用带宽是 50 Hz。一个 $f = 60\ \mathrm{Hz}$ 的信号被 100 Hz 采样后，观测到的频率为

$$f_{alias}=\left|f-n f_s\right|=\left|60-100\right|=40\ \mathrm{Hz}$$

也就是说 60 Hz 的振动会伪装成 40 Hz。这条判据在诊断里极其重要：若仿真结果里出现一个 40 Hz 分量，而物理上不存在 40 Hz 的机制，第一反应应是检查采样率而不是去找 40 Hz 的源。

$f = 7\ \mathrm{Hz}$ 的信号在 100 Hz 下不混叠，但零阶保持引入平均延迟 $T_s/2 = 0.005\ \mathrm{s}$，折算相位滞后 $360\times7\times0.005 = 12.6^\circ$。若控制系统相位裕度只有 $15^\circ$，这 12.6° 就吃掉大半。判据是：把 $T_s$ 减半后相位滞后应同步减半，若不变则延迟来自别处。

时钟系统的建模约束

现象	根因	判定试验
Cannot mix clocked and continuous equations	连续方程里直接用了时钟变量	给该变量套 hold()，看是否通过翻译
Clocks are not compatible	派生比值不是有理数	改用 Clock(1, 100) 这类有理构造
阶跃响应第 2 拍为 0.19 而非 0.1813	误用一阶近似 $a = 1 - T_s/\tau$	换成 $a = e^{-T_s/\tau}$ 复跑
结果出现无物理来源的 40 Hz 分量	60 Hz 信号在 100 Hz 采样下混叠	把 $T_s$ 从 0.01 s 改到 0.001 s，看该分量是否移到 60 Hz
节拍数与 $t/T_c+1$ 不符	时钟分区内混入了事件驱动的赋值	打印全部节拍时刻，检查是否为等差数列

节拍计数与输出采样率的区分

时钟节拍数由时钟周期唯一确定：

$$N_{tick}=\left\lfloor\frac{T_{end}-t_{start}}{T_c}\right\rfloor+1$$

$T_c = 0.01\ \mathrm{s}$、从 0 跑到 1.0 s 应得到 $\lfloor100\rfloor + 1 = 101$ 个节拍。诊断时统计时钟变量取值发生变化的次数，它必须等于 $N_{tick}$ 减 1（第一次变化前的初始值不算变化）。

这里最容易混淆的是输出 Interval 与时钟周期。把 Interval 设成 1e-3 s 会得到 1001 个输出点，但时钟变量只在 101 个时刻变化，中间 900 个输出点是重复值。若统计"取值变化次数"得到 1000 而不是 100，说明该变量其实在连续分区里被重新计算了——多半是漏了 previous，或者方程被工具判成了连续方程。

Clock 的构造与派生

Clock(Ts) 构造周期时钟，Clock(1, 10) 用有理数构造 $1/10\ \mathrm{s}$ 的时钟（推荐写法，避免浮点周期累积误差），eventClock 由事件触发。派生算子有四类：

• subSample(c, n)：每 $n$ 个节拍取一个，$T_c$ 变为 $nT_c$。基时钟 0.01 s、$n = 4$ 得到 0.04 s（25 Hz）。
• superSample(c, n)：把节拍加密 $n$ 倍。
• shiftSample(c, k, n)：把时钟整体平移 $k/n$ 个节拍。
• backSample 与 shiftSample 配合，用于把离散控制器的计算延迟显式表达出来。

派生算子的比值必须是整数或有理数。写成 subSample(Clock(0.01), 3) 得到 0.03 s 是合法的；写成两个浮点周期相除得到无限小数比值的组合，工具会报 Clocks are not compatible。

故障模式与判定试验

现象	根因	判定试验
时钟变量变化 1000 次而非 100 次	漏 previous，方程被判为连续	统计取值变化次数，与 $N_{tick}-1 = 100$ 对比
$y[2]$ 为 0.19 而非 0.1813	用 $a = 1-T_s/\tau$ 代替 $e^{-T_s/\tau}$	换成指数系数复跑，偏差应降到 $10^{-6}$ 以下
结果出现 40 Hz 无源分量	60 Hz 在 100 Hz 下混叠	$T_s$ 改 0.001 s，看是否移到 60 Hz
相位滞后测得 0.010 s 而非 0.005 s	控制器自带一拍延迟	查是否经过 UnitDelay 或漏 previous
子时钟节拍数约为主时钟 4 倍	subSample 与 superSample 用反	对比 26 与 101 两个节拍数
换 Interval 后时钟变量轨迹改变	输出采样与时钟耦合	固定时钟，只改 Interval，轨迹应逐点相同

离散化一阶滤波器的手算验收

把时间常数 $\tau = 0.1\ \mathrm{s}$ 的一阶滤波器在 $T_s = 0.01\ \mathrm{s}$ 的时钟上离散，零阶保持精确离散化给出

$$y[k]=a\,y[k-1]+(1-a)\,u[k],\qquad a=e^{-T_s/\tau}=e^{-0.1}=0.9048$$

系数 $a = 0.9048$、$1-a = 0.0952$。对单位阶跃 $u = 1$，第 1 个节拍 $y[1] = 0.0952$，第 2 个节拍 $y[2] = 0.9048\times0.0952 + 0.0952 = 0.1813$。连续解在同一时刻 $t = 0.02\ \mathrm{s}$ 给出 $1-e^{-0.2} = 0.18127$，两者相差 $8\times10^{-6}$，属于双精度舍入量级。

这个吻合不是巧合：零阶保持对一阶线性系统是精确离散化，所以任何偏差都来自实现错误而非离散化本身。把实测 $y[2]$ 与 0.1813 对比，偏差超过 $10^{-3}$ 就说明系数 $a$ 算错（例如误用 $a = 1 - T_s/\tau = 0.9$，那会给出 $y[2] = 0.19$，偏差 4.8%）。

model SampledFilter
  parameter Modelica.Units.SI.Time Ts = 0.01;
  parameter Modelica.Units.SI.Time tau = 0.1;
  Clock c = Clock(1, 100) "0.01 s 有理时钟";
  Real u = 1.0;
  discrete Real y(start = 0, fixed = true);
  Real y_cont "连续对照";
equation
  when c then
    y = previous(y) + (1 - exp(-Ts/tau))*(u - previous(y));
  end when;
  tau*der(y_cont) = u - y_cont;
  annotation(experiment(StopTime = 1.0, Tolerance = 1e-6, Interval = 1e-3));
end SampledFilter;

y_cont 与 y 的差在稳态趋于零，在阶跃后 0.3 s 内最大，约为 $0.0952/2 = 0.048$——这是零阶保持的平均半拍延迟造成的，不是误差。

混叠的识别与采样率加倍试验

采样率 $f_s = 100\ \mathrm{Hz}$ 时，$f = 60\ \mathrm{Hz}$ 的信号会落在 $|60-100| = 40\ \mathrm{Hz}$。诊断动作是把 $T_s$ 从 0.01 s 改成 0.001 s（$f_s = 1000\ \mathrm{Hz}$）重跑：

• 若那个分量从 40 Hz 移到 60 Hz，确认为混叠，物理上不存在 40 Hz 机制；
• 若分量仍在 40 Hz 不动，它是真实的物理频率，需要去模型里找来源。

这个"采样率加倍"试验比频域分析更可靠，因为它不依赖窗函数与泄漏处理。判据可以量化为：混叠频率随 $f_s$ 变化的规律是 $f_{alias} = |f - n f_s|$，$f_s$ 从 100 变到 1000 时 $n$ 从 1 变到 0，观测频率应从 40 Hz 变到 60 Hz，变化量 20 Hz。

另一个反向陷阱是把真实高频误判为混叠。$f = 7\ \mathrm{Hz}$ 在 100 Hz 下不混叠，把采样率提到 1000 Hz 后频率仍是 7 Hz，这就排除混叠。

零阶保持相位滞后的测量

零阶保持的平均延迟为 $T_s/2$，折算相位滞后

$$\phi_{ZOH}=360\,f\,\frac{T_s}{2}=360\times7\times0.005=12.6^\circ$$

测量方法：给控制器输入一个 7 Hz 正弦，把输出与输入做互相关，峰值位置对应的时间延迟应为 0.005 s。若测得 0.010 s，说明系统里多了一个采样周期的额外延迟——常见根因是控制器在时钟分区内读到了未经 previous 的当前值，或者信号经过了 Modelica.Blocks.Discrete.UnitDelay 而作者没意识到它自带一拍延迟。

判据是把 $T_s$ 减半后滞后是否同步减半。$T_s$ 从 0.01 s 改到 0.005 s，滞后应从 12.6° 降到 6.3°；若不变，延迟来自离散控制器自身的算法（例如带积分的控制器），与采样无关。

子时钟比值的核对

subSample(c, 4) 在基时钟 0.01 s 上产生 0.04 s 的子时钟，对应 25 Hz。跑 1.0 s 应得到 26 个节拍（$0, 0.04, \ldots, 1.00$）。核对方式与主时钟一致：数子时钟变量的取值变化次数，应为 25 次。

比值的常见错误是把 subSample 与 superSample 用反。前者让时钟变慢（周期乘 $n$），后者让时钟变快（周期除 $n$）。判据是节拍数：$n = 4$ 时子时钟节拍数应约为主时钟的 $1/4$（101 对 26），反了则约为 4 倍。工具不会对此报错，只会安静地给出错误的时间尺度。

参考资料

1. Modelica Association. Modelica Language Specification, Version 3.6. Chapter 16 “Synchronous Language Elements”, 2023.
2. Otter, M., Elmqvist, H., Mattsson, S. E. “Hybrid modeling in Modelica based on the synchronous data flow principle.” IEEE International Symposium on Computer Aided Control System Design, 1999, pp. 151–157.
3. Elmqvist, H., Mattsson, S. E., Otter, M. “Modelica extensions for multi-mode DAE systems.” 10th International Modelica Conference, 2014, pp. 183–193.
4. Åström, K. J., Wittenmark, B. Computer-Controlled Systems: Theory and Design. 3rd ed., Prentice Hall, 1997.
5. Franklin, G. F., Powell, J. D., Workman, M. L. Digital Control of Dynamic Systems. 3rd ed., Addison-Wesley, 1998.
6. Cellier, F. E., Kofman, E. Continuous System Simulation. Springer, 2006.
7. Modelica Association. Modelica Standard Library 4.0.0, package Modelica.Blocks.Discrete.
8. Oppenheim, A. V., Schafer, R. W. Discrete-Time Signal Processing. 3rd ed., Pearson, 2010.