Modelica 集成与联合仿真

FMI Co-Simulation：结果诊断与可信度验证

CS 型 FMU 自带求解器，主控只负责推进通信点，误差因此来自两次通信之间接口量的保持方式。本文用通信步长收敛阶、接口功残差与回滚开销三项判据定位耦合缺陷。

林工程师更新于 2026/9/22

Modelica连接器结果诊断与可信度验证FMI Co-Simulation通信步长收敛阶专题

FMI Co-Simulation：结果诊断与可信度验证

CS 型 FMU 内部自带求解器，主控算法只负责在通信点上推进时间。误差因此不再来自单个求解器的容差，而来自“两次通信之间接口量怎么保持”。判断一份 CS 结果，要回答三件事：通信步长是否落在精度与稳定性允许的区间、接口功是否守恒、失败回滚的开销是否被计入预算。三项都能用一组数值判定，不需要打开 FMU 内部。

主控算法决定了误差长相

主控在 $t_k$ 调用 fmi2DoStep(t_k, h_c, noSetFMUStatePriorToCurrentPoint)，FMU 内部积分到 $t_k+h_c$ 并写回输出。两次通信之间输入如何取值由主控决定：零阶保持在整个区间内取 $u(t_k)$ ，误差一阶；线性插值需要 canInterpolateInputs="true"，且主控要调用 fmi2SetRealInputDerivatives 提供导数，误差二阶。canHandleVariableCommunicationStepSize="true" 时主控能在事件附近缩短 $h_c$ ，为 false 时只能在整周期上通信，事件时刻被量化到步点。

<CoSimulation modelIdentifier="PipeCS"
  canHandleVariableCommunicationStepSize="true"
  canInterpolateInputs="true"
  maxOutputDerivativeOrder="2"
  canGetAndSetFMUstate="true"
  canSerializeFMUstate="true"
  canReturnEarlyAfterError="false"/>

通信步长的两条约束

第一条来自精度：耦合时间常数决定主控能分辨的最快步长。

h_{c}\le \eta\,\min\left(\tau_{A},\tau_{B}\right),\qquad \eta\approx 0.1

第二条来自保持方式。设接口输出的导数上界为 $\lvert\dot y\rvert_{\max}$ 与 $\lvert\ddot y\rvert_{\max}$ ，零阶保持与线性插值的局部误差分别为

e_{ZOH}\le \frac{h_{c}}{2}\lvert\dot y\rvert_{\max},\qquad e_{lin}\le \frac{h_{c}^{2}}{8}\lvert\ddot y\rvert_{\max}

这两个界决定了加密步长时误差是减半还是降到四分之一，也就决定了该改步长还是该改保持方式。接口功的守恒用相对残差判定：

\epsilon_{E}=\frac{1}{E_{ref}}\left|\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(P_{A}(t)+P_{B}(t)\right)\mathrm{d}t\right|,\qquad P_{A}=u_{A}y_{A},\quad P_{B}=u_{B}y_{B}

理想耦合下 $P_A+P_B\equiv0$，任何非零积分值都来自保持方式、插值口径或代数环残差。

两个一阶子系统的手算对照

取 $\tau_A=0.5\,\mathrm{s}$ 、 $\tau_B=2.0\,\mathrm{s}$ ，则 $\min(\tau_A,\tau_B)=0.5\,\mathrm{s}$ ，按 $\eta=0.1$ 得 $h_c\le0.05\,\mathrm{s}$ 。用零阶保持扫步长： $h_c=0.05/0.025/0.0125\,\mathrm{s}$ 时末端误差为 $1.2\times10^{-3}/6.1\times10^{-4}/3.0\times10^{-4}$ ，比值稳定在 2.0，确认一阶。改用线性输入插值后， $h_c=0.05\,\mathrm{s}$ 的误差降到 $7.4\times10^{-5}$ ，步长减半时降到 $1.9\times10^{-5}$ ，比值 4.0，阶数升到二阶。这一步手算同时验证了主控实现的保持方式与 maxOutputDerivativeOrder 声明是否一致。

接口功残差取 $E_{ref}=7.5\,\mathrm{J}$ （10.0 s 内传递的总能量）。 $h_c=0.05\,\mathrm{s}$ 时实测 $\int(P_A+P_B)\mathrm{d}t=2.3\times10^{-4}\,\mathrm{J}$ ，得 $\epsilon_E=3.1\times10^{-5}$ ，判据为 $\epsilon_E\le10^{-4}$ 。把 $h_c$ 提到 $0.2\,\mathrm{s}$ 后 $\epsilon_E$ 跳到 $1.4\times10^{-3}$ ，说明该步长已越出验证区间。

import fmpy, numpy as np

for hc in (0.05, 0.025, 0.0125):
    res = fmpy.simulate_fmu("TwoFirstOrder.fmu", start_time=0.0, stop_time=10.0,
                            step_size=hc, fmi_type="CoSimulation",
                            output=["yA", "yB", "uA", "uB"])
    P = res["uA"] * res["yA"] + res["uB"] * res["yB"]
    print(hc, np.trapezoid(P, res["time"]))     # NumPy >= 2.0

回滚与失败恢复的开销

fmi2GetFMUState 与 fmi2SetFMUState 是主控做迭代耦合或拒绝步长时的唯一手段。实测某 FMU 上 fmi2GetFMUState 耗时 $0.9\,\mathrm{ms}$ 、fmi2SetFMUState 耗时 $0.7\,\mathrm{ms}$ 。若 20000 步中有 5% 需要回滚，额外开销为 $0.05\times20000\times1.6\,\mathrm{ms}=1.6\,\mathrm{s}$ ，而仿真本体耗时 $4.2\,\mathrm{s}$ ，增幅 38%。canSerializeFMUstate="false" 的 FMU 无法跨进程恢复状态，分布式部署下只能重算，代价更高，也更容易造成不可复现。

症状、根因与判定试验

现象	根因	判定试验
$h_c$ 减半误差只降到 0.71 倍	主控按零阶保持送输入，与 FMU 声明的可插值能力不匹配	打开 `fmi2SetRealInputDerivatives` 后重测收敛阶
接口功残差随 $h_c$ 缩小而不收敛	两侧对同一接口量用了不同符号约定	交换 A/B 端口重跑，残差应翻转符号、幅值不变
$h_c=0.2\,\mathrm{s}$ 时耦合发散，子模型单独却稳定	显式主控的稳定域被 $\min(\tau_A,\tau_B)$ 限制	用 $h_c=0.05\,\mathrm{s}$ 重跑，收敛即确认
回滚后 FMU 输出发生跳变	`canGetAndSetFMUstate="false"`，状态并未真正恢复	连续两次回滚取输出，偏差应为 0
分布式部署下结果不可复现	FMU 状态不可序列化，从属进程重启后初始化不同	对比 `canSerializeFMUstate` 真/假两次运行
接口功残差为负且随能量流向反号	端口功率正方向定义与物理约定相反	在单端口恒功率工况下核对 $\epsilon_E$ 的符号

参考文献

Modelica Association, Functional Mock-up Interface Specification 3.0, 2022, §2.3 Co-Simulation.
Blochwitz T., Otter M., Arnold M., Bausch C., Elmqvist H., Junghanns A., et al., “The Functional Mockup Interface for Tool independent Exchange of Simulation Models”, Proc. 8th International Modelica Conference, 2011, pp. 105-114.
Kübler R., Schiehlen W., “Two Methods of Simulator Coupling”, Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems, 6(2), 2000, pp. 157-183.
Arnold M., Günther M., “Preconditioned Dynamic Iteration for Coupled Differential Algebraic Equations”, BIT Numerical Mathematics, 41(1), 2001, pp. 1-25.
Gomes C., Thule C., Broman D., Larsen P. G., Vangheluwe H., “Co-simulation: a survey”, ACM Computing Surveys, 51(3), 2018, Article 49.
Zuluaga C., fmpy — Simulate Functional Mock-up Units in Python, 2019.