Modelica 语言基础

常量、参数与离散变量：原理与诊断验证

解释 constant、parameter、discrete 与 continuous 四种可变性构成的偏序、表达式可变性的传播规则，以及 when 与 pre 在事件时刻的取值约定，并给出一个采样 PI 控制器的可手算算例。

林工程师更新于 2026/9/22

Modelica连接器结果诊断与可信度验证语言语义与适用边界常量、参数与离散变量事件抖动迟滞带可变性偏序when 与 pre进阶

常量、参数与离散变量：原理与诊断验证

Modelica 把"变量会不会变、在什么时候变"编码进声明前缀，形成一套可变性偏序。编译期就能定的量可以做数组维度，仿真前可改的量适合做设计变量，只在事件时刻跳变的量必须用 when 驱动。离散变量的故障很少表现为数值偏差，更多表现为求解变慢、事件数暴涨或结果在两次运行间不一致。可信度验证要回答的是三个可量化的问题：事件率是否落在物理预期内、事件迭代是否在有限步内收敛、参数取值是否经得起扰动反证。

从求解日志里提取离散证据

在动任何参数之前，先把四类量记下来：

仿真区间内的事件总数 $N_{event}$ ；
每个事件处的事件迭代次数 $k_{iter}$ ；
离散变量的首拍值与 pre 值；
参数被修改符覆盖后的实际生效值。

工具会把这些量写进日志。OpenModelica 输出 number of events，Dymola 在 dslog.txt 中给出 Number of state events 与 Number of time events。缺少这些量时，任何"结果看起来对"的判断都没有区分力，因为抖动与真实高频切换在结果曲线上长得一样。

可变性是一个偏序而非四个并列标签

四种可变性从"最不可变"到"最可变"排列为 constant < parameter < discrete < continuous。constant 在编译期求值，可以出现在数组维度、if 条件的结构分支里；parameter 在一次仿真中固定，但在编译与初始化之间可被修改符覆盖；discrete 是分段常数，只在事件时刻改变；continuous 在时间上连续可微。

这条偏序直接决定赋值合法性：把高可变性的表达式赋给低可变性的变量是非法的。写成 parameter Real T = time; 会得到 Cannot assign a continuous-time expression to a parameter，因为 time 的可变性高于 parameter。反过来永远合法：discrete Real y = kp * u; 中 kp 是参数、u 是连续量，只要整条语句位于 when 分支内即可。

表达式可变性的传播规则

表达式本身也有可变性，取子表达式中的最大值：

\mathrm{var}(e_1 \circ e_2) = \max\big(\mathrm{var}(e_1),\, \mathrm{var}(e_2)\big)

这条规则解释了为什么 parameter Real A[3] = {1.0, 2.0, 3.0} * scale; 在 scale 为 parameter 时仍然合法——右侧是参数表达式，数组维度可确定；而一旦 scale 变成普通 Real，数组维度就无法在编译期确定，报错 Array dimension is not a parameter expression。

final parameter 是在偏序上加锁：它仍然是参数，但禁止下游用修改符覆盖。库作者在基类里写 final parameter Real k = 1.0，可以防止使用者无意改变内部标定，同时保持参数的可见性。

采样 PI 控制器的可变性设计

block SampledPI
  parameter Real kp = 2.0 "比例增益";
  parameter Modelica.Units.SI.Time Ti = 0.5 "积分时间常数";
  parameter Modelica.Units.SI.Time Ts = 0.1 "采样周期";
  Modelica.Blocks.Interfaces.RealInput u;
  Modelica.Blocks.Interfaces.RealOutput y;
  discrete Real e;
  discrete Real I;
equation
  when sample(0, Ts) then
    e = u;
    I = pre(I) + kp * Ts / Ti * e;
  end when;
  y = kp * e + I;
end SampledPI;

e 与 I 声明为 discrete Real，因为它们的值只在采样时刻改变；y 是普通 Real，在两次采样之间保持常数但仍按连续变量参与求解。这种"离散量进入连续方程"的写法是合法的，因为分段常数在区间内部不引入新的自由度。

手算第一拍：设 $u = 1.0$ （阶跃误差），初值 I 的 pre 为 0.0。采样时刻 $t = 0$ 处 $e = 1.0$ ，积分项 $I = 0.0 + 2.0 \times 0.1/0.5 \times 1.0 = 0.4$ ，输出 $y = 2.0 \times 1.0 + 0.4 = 2.4$ 。第二拍 $e$ 仍为 1.0 时 $I = 0.4 + 0.4 = 0.8$ ， $y = 2.8$ 。每拍积分增量恒为 $kp\,T_s/T_i = 0.4$ ，10 拍后 $I = 4.0$ ，这些整数序列可以逐拍核对仿真输出。

事件时刻与 pre 的取值约定

when 分支内的赋值不是连续赋值，而是事件时刻的一次性更新。pre(x) 给出该变量在上一个事件时刻之后、当前事件之前的取值：

\mathrm{pre}(x)(t) = \lim_{s \to t^{-}} x(s)

没有 pre() 就无法写出带记忆的离散状态，例如 I = pre(I) + kp * Ts / Ti * e;。如果漏掉 pre() 直接写 I = I + ...，工具会报代数环或报 Non-linear equation system，因为等号两边出现同一个离散变量，构成隐式关系。

采样由内建函数触发：when sample(0, Ts) then ... end when; 在 $t = 0, T_s, 2T_s, \dots$ 时刻激活。仿真区间 $[0, T_{end}]$ 内的事件次数为

N = \left\lfloor \frac{T_{end}}{T_s} \right\rfloor + 1

取 $T_{end} = 10.0\ \mathrm{s}$ 、 $T_s = 0.1\ \mathrm{s}$ ，得到 $N = 101$ 次采样。这个数可以与工具的 number of events 统计直接对照，用来确认采样逻辑没有写错。

迟滞带的取值下限

迟滞带不能任意取小。设求解器容差为 $10^{-6}$ 、温度量级为 $350\ \mathrm{K}$ ，相对容差对应的绝对分辨率约 $3.5 \times 10^{-4}\ \mathrm{K}$ 。迟滞带必须显著大于这个分辨率，否则阈值仍会被数值噪声穿越。工程上取迟滞带不低于量级分辨率的 100 倍，即

\Delta T \geq 100 \cdot \epsilon_{rel} \cdot T_{nom} = 100 \times 10^{-6} \times 350 = 0.035\ \mathrm{K}

取 $\Delta T = 2.0\ \mathrm{K}$ 有约 57 倍余量，是安全的。若实际物理迟滞只有 $0.1\ \mathrm{K}$ ，就应把 tolerance 收紧到 $10^{-8}$ 再评估，而不是把迟滞带放大到失真。

物性参数与常量表达式的边界

参数的可变性边界也体现在量纲换算上。取导热系数 $k = 0.6\ \mathrm{W/(m{\cdot}K)}$ 、密度 $\rho = 998.2\ \mathrm{kg/m^3}$ 、比热 $c_p = 4182.0\ \mathrm{J/(kg{\cdot}K)}$ ，三者都是 parameter，热扩散率

\alpha = \frac{k}{\rho c_p} = \frac{0.6}{998.2 \times 4182.0} = 1.437 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^2/s}

因为三个输入都是参数， $\alpha$ 也是参数，可以安全地用于 parameter Real dx = sqrt(alpha * t_end); 这类需要在编译期定维的表达式。若把 $\rho$ 改成随温度变化的连续量， $\alpha$ 立刻升级为连续变量，上面这行会失效。

参数取值的反证设计

参数诊断不是重读一遍数值，而是构造能推翻结论的扰动。以比例增益 $k_p = 2.0$ 为例，做 $\pm 5\%$ 扰动（ $1.9$ 与 $2.1$ ），若输出幅值随之变化约 $\pm 5\%$ ，说明系统在该工作点近似线性、参数可信；若幅值变化超过 $\pm 20\%$ ，说明工作点靠近饱和或分岔，原参数值不能外推。无量纲敏感度定义为

S = \frac{\Delta y / y}{\Delta p / p}

$|S| \approx 1$ 表示线性响应， $|S| \gg 1$ 表示参数不可信。把 $S$ 与事件率、迭代次数一起记录，才能说明一次离散仿真的结论覆盖了哪些工况。

故障模式与判定试验

现象	根因	判定试验
`Cannot assign a continuous-time expression to a parameter`	参数初值里引用了 `time` 或连续变量	把该变量提到 `equation` 段，或改声明为 `discrete`
`Array dimension is not a parameter expression`	数组维度依赖了非参数变量	用 `final parameter` 或 `constant` 重新声明维度来源
离散变量首拍结果等于稳态值	`when` 分支内漏写 `pre()`，`I` 被当成连续量解出	把 `I` 的更新式改为含 `pre(I)` 的形式重跑
事件次数远多于 $T_{end}/T_s$	`when` 条件里含连续比较，触发抖动	用 `sample(0, Ts)` 或加 `noEvent` 限定比较
修改子模型参数无效	基类中该参数被 `final` 锁定	用 `checkModel` 查看参数的 `final` 属性
事件数在 1 s 内超过 1000 次	连续比较缺迟滞，布尔量在阈值附近抖动	加 $\Delta T = 2.0\ \mathrm{K}$ 迟滞带，看事件率是否降到 $0.5\ \mathrm{s^{-1}}$ 量级
日志出现 `Event iteration did not converge`	离散方程组无不动点或迭代上限过小	把 `when` 内赋值改写成含 `pre()` 的显式形式
两次运行结果不同	离散初值未固定，依赖工具默认值	给所有 `discrete` 变量加 `fixed = true` 与显式 `start`
参数扰动 5% 引起输出变化 40%	工作点接近饱和，敏感度 $\lvert S \rvert \gg 1$	把扰动缩到 $\pm 1\%$ 重测，确认是局部非线性
`noEvent` 包裹后事件数归零	真实切换被抑制，物理行为被抹掉	去掉 `noEvent` 并改为迟滞实现，比较两者能量收支

恒温器的抖动诊断

下面的模型没有迟滞，heating 直接由连续温度比较得出：

model ThermostatNoHysteresis
  parameter Modelica.Units.SI.Temperature Ton = 350.15;
  parameter Modelica.Units.SI.Temperature Tamb = 293.15;
  parameter Modelica.Units.SI.HeatCapacity C = 1000.0;
  parameter Modelica.Units.SI.Power Qmax = 2000.0;
  parameter Modelica.Units.SI.ThermalConductance h = 20.0;
  Modelica.Units.SI.Temperature T(start = 300.15, fixed = true);
  Boolean heating;
equation
  heating = T < Ton;
  C * der(T) = (if heating then Qmax else 0.0) - h * (T - Tamb);
end ThermostatNoHysteresis;

升温阶段净功率为 $Q_{max} - h(T - T_{amb})$ 。在 $T = 300.15\ \mathrm{K}$ 处损耗为 $20.0 \times (300.15 - 293.15) = 140.0\ \mathrm{W}$ ，净功率 $1860.0\ \mathrm{W}$ ，升温速率 $1860.0/1000.0 = 1.86\ \mathrm{K/s}$ ，从 $300.15\ \mathrm{K}$ 升到 $350.15\ \mathrm{K}$ 需要约 $50.0/1.86 = 26.9\ \mathrm{s}$ 。到达阈值后温度立即回落，条件再次为真，于是进入抖动。

加入迟滞带 $\Delta T = 2.0\ \mathrm{K}$ 后，开启阈值 $348.15\ \mathrm{K}$ 、关闭阈值 $350.15\ \mathrm{K}$ 。在 $T = 350.15\ \mathrm{K}$ 处损耗为 $20.0 \times 57.0 = 1140.0\ \mathrm{W}$ ，降温速率 $1140.0/1000.0 = 1.14\ \mathrm{K/s}$ ，降温段耗时 $2.0/1.14 = 1.75\ \mathrm{s}$ ；加热段净功率 $2000.0 - 1140.0 = 860.0\ \mathrm{W}$ ，速率 $0.86\ \mathrm{K/s}$ ，耗时 $2.0/0.86 = 2.33\ \mathrm{s}$ 。周期 $T_c \approx 4.08\ \mathrm{s}$ ，事件率 $2/T_c \approx 0.49\ \mathrm{s^{-1}}$ 。若日志里的事件率远高于 $0.5\ \mathrm{s^{-1}}$ ，迟滞带就没有生效。

事件抖动与事件迭代不收敛的区分

两者的现象相似，机制不同。抖动是物理模型缺少迟滞，导致布尔条件在阈值附近反复穿越；事件迭代不收敛是离散方程组 $\mathbf{z} = \Phi(\mathbf{z}, \mathrm{pre}(\mathbf{z}))$ 本身没有不动点，或不动点迭代被限制在过少的迭代次数内。

判定迭代是否收敛，看相邻两次迭代的差：

\left\| \mathbf{z}^{(k+1)} - \mathbf{z}^{(k)} \right\|_\infty < \epsilon_{event}

OpenModelica 的默认 $\epsilon_{event}$ 与求解容差同量级，取 $10^{-6}$ 。若 $k_{iter}$ 打到上限（常见为 20 次）仍未满足上式，日志会出现 Event iteration did not converge。抖动则相反：每次迭代都迅速收敛，但事件被触发的次数远超物理预期。

区分试验很直接：把阈值比较换成带迟滞的形式。若事件数从数千降到个位数而结果形态不变，根因就是抖动；若事件数不变、只是迭代次数下降，根因在离散方程组本身。

参考资料

Modelica Association. Modelica Language Specification, Version 3.6, 2023 — 第 3.8 节 Variability of Expressions 给出四种可变性的偏序与传播规则。
Modelica Association. Modelica Language Specification, Version 3.6, 2023 — 第 8.4 节 Events and Synchronization 规定 when 与 pre 的语义。
Fritzson, P. Principles of Object-Oriented Modeling and Simulation with Modelica 3.3. Wiley-IEEE Press, 2015 — 第 5 章讨论离散事件与混合系统建模。
Elmqvist, H., Mattsson, S. E., Otter, M. “Modelica — The New Object-Oriented Modeling Language.” ESM, 1998.
Tiller, M. Modelica by Example, 在线版 2014 — 第 6 章给出采样控制系统与 pre 的用法。
Modelica Association. Modelica Standard Library 4.0.0, Modelica.Blocks.Discrete 与 Modelica.Blocks.Interfaces.RealInput, 2020.
Modelica Association. Modelica Language Specification, Version 3.6, 2023 — 第 8.5 节 Event Iteration 规定离散方程组不动点迭代的终止条件。
Modelica Association. Modelica Language Specification, Version 3.6, 2023 — 第 3.8 节 Variability of Expressions 界定 discrete 与 continuous 的赋值边界。
Cellier, F. E., Kofman, E. Continuous System Simulation. Springer, 2006 — 第 9 章讨论混合系统的抖动与迟滞建模。
Fritzson, P. Principles of Object-Oriented Modeling and Simulation with Modelica 3.3. Wiley-IEEE Press, 2015 — 第 9 章给出事件迭代与 noEvent 的实现细节。
Modelica Association. Modelica Standard Library 4.0.0, Modelica.Blocks.Logical.Hysteresis 与 Modelica.Thermal.HeatTransfer, 2020.
Mosterman, P. J. “An Overview of Hybrid Simulation Phenomena and Their Support by Simulation Packages.” HSCC, 1999.