发散定位：结果诊断与可信度验证

发散几乎从不在第一次出现 NaN 的那一步才发生，而是在之前某一步越过了稳定性边界。定位的任务是找到最早偏离的时刻，而不是最后崩溃的时刻。本文给出从日志时间戳反查、用库朗数与网格质量做定量判定、以及三类典型发散的区分方法。

从日志反查最早异常

grep -n "Courant Number" log.foamRun | tail -5
grep -n "bounding\|FOAM FATAL\|nan\|inf" log.foamRun | head -5
awk '/Time = /{t=$3} /Courant Number mean/{print t, $NF}' log.foamRun | tail -20

第一步看 Courant Number max 随时间的变化；第二步找第一条 bounding 警告，它通常比 NaN 早几十到几百步；第三步把时间戳对齐，定位到具体时刻。若最大库朗数从 0.8 突增到 3.5 只用了几步，说明时间步或网格在该处失控。

库朗数与扩散数的定量判据

$$\mathrm{Co} = \frac{|\mathbf{U}|\,\Delta t}{\Delta x}, \qquad \mathrm{Fo} = \frac{\nu\,\Delta t}{\Delta x^2}$$

显式格式要求 $\mathrm{Co} \le 1$；隐式格式虽无硬性上限，但 $\mathrm{Co} > 5$ 时时间精度严重退化，且对流项的 TVD 限制器会被反复触发。以 $U = 20\ \mathrm{m/s}$、$\Delta x = 2\ \mathrm{mm}$、$\Delta t = 10^{-4}\ \mathrm{s}$ 为例：

$$\mathrm{Co} = \frac{20 \times 10^{-4}}{0.002} = 1.0$$

已在上限。把 $\Delta t$ 降到 $5\times10^{-5}\ \mathrm{s}$ 得 $\mathrm{Co} = 0.5$，代价是步数翻倍。$\mathrm{Fo}$ 用于判断黏性项：$\nu = 1.5\times10^{-5}\ \mathrm{m^2/s}$ 时

$$\mathrm{Fo} = \frac{1.5\times10^{-5} \times 5\times10^{-5}}{(0.002)^2} = 1.9\times10^{-4}$$

远小于 1，黏性项不是瓶颈。

网格质量导致的发散

checkMesh 的三个指标与稳定性直接相关：

• Max non-orthogonality：超过 70 时非正交修正迭代不足会导致压力方程发散，nNonOrthogonalCorrectors 至少给 2。
• Max skewness：超过 4 时面插值误差急剧增大，建议重新划分或局部加密。
• Max aspect ratio：超过 1000 的边界层单元在旋转流中容易产生伪扩散。

checkMesh -allGeometry -allTopology | tee log.checkMesh
grep -E "non-orthogonality|skewness|aspect ratio" log.checkMesh

三类发散的区分

• 边界驱动：入口速度突增或出口回流时发散。症状是残差在边界附近先变大，该时刻 bounding p 集中出现。判定：把入口速度降到 50% 重跑，若不再发散即为边界驱动。
• 网格驱动：与边界条件无关，换更粗或更规整的网格后消失。判定：收紧 maxNonOrtho 阈值并重划网格，观察是否改善。
• 求解器驱动：松弛因子过大或格式无界。症状是首个外层迭代就出现 bounding。判定：把 relaxationFactors 全降到 0.3 并改 upwind 格式，若稳定则逐步恢复。

失败模式

现象	根因	判定试验
最大 Co 从 0.8 跳到 3.5	局部网格过密或时间步固定过大	启用 adjustableTimeStep 或减小 $\Delta t$
压力残差 5 步内到 $10^{6}$	非正交修正不足	把 nNonOrthogonalCorrectors 提到 2～3
只在高 $Re$ 工况发散	网格分辨率不足以支撑湍流尺度	用 $\Delta x^+ < 100$ 检查剪切层网格
换边界条件后立刻稳定	出口回流或入口突增	检查出口是否出现反向流动
串行稳定、并行发散	分块边界引入的插值或归约顺序问题	换 decomposeParDict 方法重跑

参考文献

1. J. H. Ferziger, M. Perić, R. L. Street, Computational Methods for Fluid Dynamics, 4th ed., Springer, 2020.
2. C. Hirsch, Numerical Computation of Internal and External Flows, 2nd ed., Butterworth-Heinemann, 2007.
3. P. J. Roache, Fundamentals of Verification and Validation, Hermosa Publishers, 2009.
4. R. J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002.
5. OpenFOAM Foundation, OpenFOAM User Guide, §“Numerical schemes and solution control”.