时间平均与脉动统计：结果诊断与可信度验证

fieldAverage 的 timeStart 决定统计窗口从哪里开始，选错会把启动瞬变算进平均值。本文给出 fieldAverage 的完整配置、均值与 RMS 的离散形式、由雷诺应力收缩求湍动能的手算，以及用独立样本数把窗口长度换算成可判定阈值的做法。

fieldAverage 配置与 prime2Mean

functions
{
    fieldAverage
    {
        type            fieldAverage;
        libs            ("libfieldFunctionObjects.so");
        timeStart       2;
        timeEnd         10;
        writeArea       false;
        fields
        (
            U
            {
                mean        on;
                prime2Mean  on;
                base        time;
            }
            p
            {
                mean        on;
            }
        );
    }
}

timeStart 2 表示 $t < 2\ \mathrm{s}$ 的启动段不参与平均，timeEnd 10 关闭统计，窗口长度 $T = 8\ \mathrm{s}$。prime2Mean 输出的是 $\overline{u_i' u_j'}$ 的六个分量，即雷诺应力；base time 表示按时间加权而非按样本数加权。

均值、RMS 与雷诺应力

$$\overline{\phi} = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}\phi(t)\,\mathrm{d}t \approx \frac{\sum_k \phi_k \Delta t_k}{\sum_k \Delta t_k}$$ $$\phi_{rms} = \sqrt{\overline{(\phi-\overline{\phi})^2}}, \qquad \overline{u_i' u_j'} = \overline{u_i u_j} - \overline{u_i}\,\overline{u_j}$$

prime2Mean 给的是最后一个式子。湍动能由它收缩得到：

$$k = \tfrac12\left(\overline{u'u'} + \overline{v'v'} + \overline{w'w'}\right)$$

某算例得到 $\overline{u'u'} = 2.25\ \mathrm{m^2/s^2}$、$\overline{v'v'} = 0.81\ \mathrm{m^2/s^2}$、$\overline{w'w'} = 1.44\ \mathrm{m^2/s^2}$，则 $k = 0.5\times(2.25+0.81+1.44) = 2.25\ \mathrm{m^2/s^2}$。取 $U_\infty = 10\ \mathrm{m/s}$，湍流强度 $TI = \sqrt{2k/3}/U_\infty = \sqrt{1.5}/10 = 12.2\%$。

统计收敛的定量判定

均值标准误：

$$\sigma_{\bar\phi} \approx \frac{\sigma_\phi}{\sqrt{N_{eff}}}, \qquad N_{eff} = \frac{T}{\tau_{int}}$$

以 $T = 8\ \mathrm{s}$、积分时间尺度 $\tau_{int} = 0.04\ \mathrm{s}$ 得 $N_{eff} = 200$。若 $u_{rms} = 1.5\ \mathrm{m/s}$，则 $\sigma_{\bar u} = 1.5/\sqrt{200} = 0.106\ \mathrm{m/s}$，相对 $U_\infty = 10\ \mathrm{m/s}$ 为 1.06%。

判定收敛的实用做法是把窗口对半切，比较前后两半的均值。某尾流算例前半均值 8.42 m/s、后半 8.61 m/s，差 0.19 m/s，是 $2\sigma_{\bar u} = 0.212\ \mathrm{m/s}$ 的 0.9 倍，判定收敛；若差值超过 5%，应延长窗口。

postProcess -func "fieldMinMax(fields=(UMean UPrime2Mean))" -time 10
postProcess -func "patchAverage(patch=outlet,fields=(UMean))" -time 10

第一条命令确认均值场与脉动场都已生成，第二条给出出口面上的时间平均速度，用于与实验或基准比对。

启动段与采样控制

• timeStart 必须晚于流场进入统计平稳的时刻。圆柱绕流在 $Re = 100$ 时约 5～10 个脱落周期后平稳，即 $t > 5\times0.505 = 2.5\ \mathrm{s}$。
• 平均要求每个时间步都落盘，否则时间加权失真；writeControl timeStep; writeInterval 1; 是标准配置。
• 统计状态写在 uniform/time/ 下，重启后从该目录续算，不会丢失窗口。

失败模式

现象	根因	判定试验
平均值偏向初值	timeStart 太早、含启动段	把 timeStart 后移 2 s 重算，看均值是否平移
RMS 比文献小 30%	采样稀疏、高频脉动被平均掉	改 writeInterval 1 并提高输出频率
prime2Mean 全为 0	只开了 mean on	在字段子字典里加 prime2Mean on
重启后均值突变	统计目录 uniform/time/ 未随算例迁移	确认重启时该目录存在且时间一致
均值随窗口线性漂移	流场未统计平稳	对半切窗口比对前后均值

参考文献

1. S. B. Pope, Turbulent Flows, Cambridge University Press, 2000.
2. G. K. Batchelor, The Theory of Homogeneous Turbulence, Cambridge University Press, 1953.
3. H. Tennekes, J. L. Lumley, A First Course in Turbulence, MIT Press, 1972.
4. OpenFOAM Foundation, OpenFOAM User Guide, §“fieldAverage”.
5. P. Bradshaw, An Introduction to Turbulence and its Measurement, Pergamon Press, 1971.