压电耦合：工程设置与诊断验证

压电耦合分析的设置清单比普通结构分析多三项：材料常数以哪种形式输入、极化方向如何随几何传递、电极用等电位约束还是逐个节点约束。这三项任一设错，谐振频率和输出电荷都会偏，而且偏得"像物理"。压电分析出错时，位移、电荷和电压三者往往"各自看起来合理"，但彼此不满足本构关系。诊断的关键是建立三条互相独立的闭合验算：本构关系的符号与量纲、电荷-电容-电压三角关系、以及谐振频率与机电耦合系数。本文以 PZT-5H 为例给出每一步的手算值，适用于换能器、超声振子与振动能量收集器的结果复核。

材料常数的形式选择与换算

压电材料卡有 d-形式（应变-电荷）与 e-形式（应变-电位移）两类。d-形式读起来直观，$d_{33}=+593\ \text{pC/N}$、$d_{31}=-274\ \text{pC/N}$；e-形式是求解器的自然变量，两者由弹性常数桥接：

$$e_{ij}=d_{ik}c_{kj}^{E}$$

以 PZT-5H 为例，$e_{31}\approx-6.62\ \text{C/m}^2$、$e_{33}\approx+23.2\ \text{C/m}^2$。换算后必须检查符号的相对关系：$d_{31}$ 为负、$d_{33}$ 为正，因此 $e_{31}$ 为负、$e_{33}$ 为正；若只核对了一个分量的绝对值，符号错误会漏检。另一项常被忽略的是介电常数：恒应力 $\varepsilon_{33}^{T}$ 与恒应变 $\varepsilon_{33}^{S}$ 相差 $(1-k_{33}^{2})$ 倍，$k_{33}=0.751$ 时两者相差 56%，用错会让自由电容从 3.01 nF 变成 4.7 nF。

网格：波长与电极厚度的约束

网格尺寸由最高关注频率对应的波长决定。声速 $c=\sqrt{1/(\rho s_{33}^{E})}$，PZT-5H 取 $\rho=7500\ \text{kg/m}^3$、$s_{33}^{E}=2.07\times10^{-11}\ \text{m}^2/\text{N}$，得 $c=2538\ \text{m/s}$。在 $f=126.9\ \text{kHz}$ 时

$$\lambda=\frac{c}{f}=\frac{2538}{1.269\times10^{5}}=2.0\times10^{-2}\ \text{m}$$

即 20 mm。要求每个波长至少 6 个单元：

$$\Delta x\le\frac{\lambda_{\min}}{6}=\frac{20}{6}=3.3\ \text{mm}$$

若扫频上限取 500 kHz（$\lambda=5.1\ \text{mm}$），则 $\Delta x\le0.85\ \text{mm}$，单元数增加约 $(3.3/0.85)^{3}=58$ 倍——所以扫频上限必须在建模前定死，不能事后追加。

厚度方向还有一条独立约束：压电片厚度 $t=1.0\ \text{mm}$ 时，厚度方向至少 2 层单元才能捕捉厚度模态（$f\approx c/(2t)=1.27\ \text{MHz}$）；只关心低频驱动时可 1 层，但要显式说明忽略了厚度模态。

极化坐标系与电极边界的设置

极化方向必须绑定在材料坐标系上，而不是全局坐标系。装配体里每个压电片的极化方向可能不同，要在各自的局部坐标系下定义材料方向，并确认几何旋转后方向随动。判定方法：给单片施加 10 N 轴向力，读取电荷应为 $5.93\ \text{nC}$；若装配后整堆输出接近零，说明各片极化方向未按设计反接。

电极边界有两种：接地电极用 $V=0$ 的 Dirichlet 条件；悬空电极必须用等电位约束（把该电极所有节点的电势耦合为一个自由度），否则求解器会给出电极面上非物理的电势分布，自由电容随之偏大。开路面还要再叠一条总电荷为零的约束，否则等电位约束下电荷会通过接地路径泄漏。

载荷步、扫频与阻尼参数

谐响应扫频用模态叠加或完全法。完全法在谐振峰附近步长要细：品质因数 $Q\approx1/(2\zeta)$，取 $\zeta=0.02$ 时 $Q=25$，半功率带宽约 $f_r/Q=126.9/25=5.1\ \text{kHz}$，故扫频步长不超过 0.5 kHz 才能在峰值附近取到足够点。

阻尼用 Rayleigh 形式 $[C]=\alpha[M]+\beta[K]$，由两个频率点的目标阻尼比反解：

$$\alpha=\frac{2\zeta\omega_{1}\omega_{2}}{\omega_{1}+\omega_{2}},\qquad \beta=\frac{2\zeta}{\omega_{1}+\omega_{2}}$$

取 $\zeta=0.02$、$f_1=50\ \text{kHz}$（$\omega_1=3.142\times10^{5}\ \text{rad/s}$）、$f_2=200\ \text{kHz}$（$\omega_2=1.257\times10^{6}\ \text{rad/s}$），则 $\alpha=2\times0.02\times3.142\times10^{5}\times1.257\times10^{6}/(1.571\times10^{6})=1.01\times10^{4}\ \text{rad/s}$，$\beta=0.04/1.571\times10^{6}=2.55\times10^{-8}\ \text{s}$。回代校验：$\zeta_1=\alpha/(2\omega_1)+\beta\omega_1/2=0.016+0.004=0.020$，与设定一致。

! ANSYS APDL 压电耦合谐响应关键设置
/PREP7
MP,DENS,1,7500                 ! kg/m^3
TB,ANEL,1,,,1                  ! 弹性常数（需与 s^E 换算）
TBDATA,1, 1.27e10, 8.02e9, 8.02e9, 1.27e10, 8.02e9, 1.27e10
TB,PIEZ,1,,,1                  ! e-形式压电常数
TBDATA,1, 0, 0, -6.62, 0, 0, -6.62, 0, 0, 23.2
TB,DPER,1,,,1                  ! 恒应力介电常数
TBDATA,1, 1.53e-8, 1.53e-8, 1.30e-8

ET,1,SOLID226,100              ! 100 = 压电耦合场
ESIZE,0.0008                   ! m, <= lambda_min/6
CP,1,VOLT,ALL                  ! 悬空电极：等电位耦合
D,node_ground,VOLT,0           ! 接地电极
! 局部坐标系定义极化方向，并随几何旋转
LOCAL,11,0,0,0,0, 0,0,90

故障模式与判定试验

现象	根因	判定试验
自由电容偏大 50%	用了 $\varepsilon^{S}$ 而非 $\varepsilon^{T}$	按 $C=\varepsilon A/t$ 手算 3.01 nF 对照
位移方向反	材料方向未随几何旋转	打印各片极化矢量并核对装配方向
谐振峰位置随网格移动	每波长单元数不足	按 $\Delta x\le\lambda_{\min}/6$ 重划并复算
电极面电势分布不均	未用等电位耦合约束	检查电极节点电势极差，应小于 $10^{-6}$ V
扫频峰值被削平	步长太粗或阻尼过大	用 $Q=1/(2\zeta)=25$ 估带宽 5.1 kHz
整堆输出接近零	各片极化方向未交替反接	逐片读电荷符号
高频段结果发散	扫频上限未预先定网格	按 500 kHz 的 $\lambda=5.1$ mm 反算网格
位移方向与实测相反	$d_{31}$ 或 $e_{31}$ 符号取正	单轴加载算电荷符号，与 5.93 nC 对照
输出小 $10^{12}$ 倍	输入用 pC/N 而求解器按 SI	检查材料卡单位，按 m/V 复算
$V\neq Q/C$	短路电荷被当成开路电荷	用 3.01 nF 电容反算并三方闭合
谐振频率偏高 5% 以上	声速用了 $s^{D}$ 而非 $s^{E}$	按 $c=\sqrt{1/(\rho s_{33}^{E})}$ 手算 2538 m/s
$f_a/f_r$ 接近 1	耦合系数被削弱，$d$ 或 $\varepsilon$ 错	用 $k_{33}=0.751$ 反算 $f_a/f_r=1.514$
叠堆输出相互抵消	各片极化方向未交替反接	逐片打印极化矢量方向
扫频出现多个伪峰	网格未分辨高阶模态	加密网格，检查峰位是否随网格移动

本构关系与 d31/d33 的符号约定

压电本构最常用的应变-电荷形式为

$$S_{3}=s_{33}^{E}T_{3}+d_{33}E_{3},\qquad D_{3}=d_{33}T_{3}+\varepsilon_{33}^{T}E_{3}$$

其中 $S$、$T$ 为应变与应力，$E$、$D$ 为电场与电位移，$s^{E}$ 为恒电场柔顺系数，$\varepsilon^{T}$ 为恒应力介电常数。方向 3 是极化轴。诊断第一查就是方向约定：PZT-5H 的 $d_{33}=+593\ \text{pC/N}$ 而 $d_{31}=-274\ \text{pC/N}$，横向系数为负。若仿真里 $d_{31}$ 取了正值，悬臂梁的自由端位移方向会整体反号，而电荷幅值仍正确——这类错误只有靠"位移方向与实测比对"才能发现。

第二查是量纲：$d$ 的单位是 $\text{C/N}=\text{m/V}$，两者等价。若输入文件里写成 $\text{pC/N}$ 而求解器按 SI 读取，结果会差 $10^{12}$ 倍，表现为位移小到看不见。

极化方向与坐标系一致性核对

有限元里极化方向由材料坐标系定义。常见的三类错误：其一，网格方向与极化轴不重合，导致 $d_{33}$ 被错误地作用到横向；其二，极化方向在装配后未随几何旋转；其三，多片叠堆中各片的极化方向未交替反接，使总输出相互抵消。

判定试验很直接：对单轴加载 $F=10\ \text{N}$ 施加在截面 $A=1.0\times10^{-4}\ \text{m}^2$ 上，应力 $T_3=10/1.0\times10^{-4}=1.0\times10^{5}\ \text{Pa}$，若极化与加载同向，则电荷

$$Q=d_{33}T_{3}A=593\times10^{-12}\times1.0\times10^{5}\times1.0\times10^{-4}=5.93\times10^{-9}\ \text{C}$$

即 5.93 nC。方向反接时读数应为 $-5.93$ nC。若仿真得到的幅值对而符号反，问题在极化方向；若幅值差一个量级，问题在 $d$ 系数或单位。

电荷、电容与开路电压的闭合验算

电极间的自由电容为

$$C_{p}=\frac{\varepsilon_{33}^{T}A}{t}$$

PZT-5H 的 $\varepsilon_{33}^{T}/\varepsilon_0=3400$，故 $\varepsilon_{33}^{T}=3400\times8.854\times10^{-12}=3.01\times10^{-8}\ \text{F/m}$。取 $A=1.0\times10^{-4}\ \text{m}^2$、厚度 $t=1.0\times10^{-3}\ \text{m}$，得 $C_p=3.01\times10^{-8}\times1.0\times10^{-4}/1.0\times10^{-3}=3.01\times10^{-9}\ \text{F}$，即 3.01 nF。

开路电压 $V_{oc}=Q/C_p=5.93\times10^{-9}/3.01\times10^{-9}=1.97\ \text{V}$。用电压常数 $g_{33}=d_{33}/\varepsilon_{33}^{T}=593\times10^{-12}/3.01\times10^{-8}=1.97\times10^{-2}\ \text{V}\cdot\text{m/N}$ 独立验算：$V_{oc}=g_{33}T_3t=1.97\times10^{-2}\times1.0\times10^{5}\times1.0\times10^{-3}=1.97\ \text{V}$，两条路径一致。这就是闭合验算的标准形态：电荷、电容、电压三者任取两个都能推出第三个，若仿真给出的三个量不满足 $V=Q/C$，一定是某个量的提取位置错了（例如把短路电荷当成开路电荷）。

谐振-反谐振与耦合系数的对照

机电耦合强度由

$$k_{33}^{2}=\frac{d_{33}^{2}}{s_{33}^{E}\varepsilon_{33}^{T}}$$

给出。PZT-5H 取 $s_{33}^{E}=2.07\times10^{-11}\ \text{m}^2/\text{N}$，则 $k_{33}^{2}=(593\times10^{-12})^{2}/(2.07\times10^{-11}\times3.01\times10^{-8})=3.52\times10^{-19}/6.23\times10^{-19}=0.564$，$k_{33}=0.751$，与厂家标称 0.75 吻合。

沿极化方向的半波长谐振频率为

$$f_{r}=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{1}{\rho s_{33}^{E}}}$$

取密度 $\rho=7500\ \text{kg/m}^3$，则声速 $c=\sqrt{1/(7500\times2.07\times10^{-11})}=2538\ \text{m/s}$；长 $L=10\ \text{mm}$ 的振子 $f_r=2538/(2\times0.01)=126.9\ \text{kHz}$。仿真扫频得到的阻抗极小值应在 126.9 kHz 附近（偏差 3% 内正常），反谐振频率应满足 $f_a\approx f_r/\sqrt{1-k_{33}^{2}}$；把 $k_{33}=0.751$ 代入得 $f_a/f_r=1/\sqrt{1-0.564}=1.514$，即约 192.1 kHz。实测的 $f_a/f_r$ 与耦合系数互为验证：若仿真给出 1.05，说明耦合被人为削弱，通常是 $d$ 或介电常数输错。

# Abaqus 压电材料定义片段（e-形式，需与 d-形式换算后核对）
*MATERIAL, NAME=PZT-5H
*DENSITY
 7500.,
*ELASTIC, TYPE=ANISOTROPIC
 1.27e10, 8.02e9, 8.02e9, 1.27e10, 8.02e9, 1.27e10,
 2.29e10, 2.29e10, 2.29e10, 2.29e10, 2.29e10, 2.29e10
*PIEZOELECTRIC, TYPE=E
 0., 0., -6.62, 0., 0., -6.62, 0., 0., 23.2,
 0., 0., 0., 0., 17.0, 0., 17.0, 0., 0.
*DIELECTRIC, TYPE=ANISOTROPIC
 1.53e-8, 1.53e-8, 1.30e-8

上例中 $-6.62$ 与 $23.2\ \text{C/m}^2$ 即 $e_{31}$ 与 $e_{33}$，其负号关系必须与 $d_{31}<0$、$d_{33}>0$ 一致；仅核对一个分量的符号不足以确认，要同时检查两者的相对符号。

参考资料

1. IEEE Std 176-1987, IEEE Standard on Piezoelectricity, IEEE, 1987.
2. Jaffe B., Cook W.R., Jaffe H., Piezoelectric Ceramics, Academic Press, 1971.
3. APC International, Piezoelectric Ceramics: Principles and Applications, 2nd ed., 2011.
4. Ansys Inc., Mechanical APDL Coupled-Field Analysis Guide, 2023.
5. Yang J., An Introduction to the Theory of Piezoelectricity, Springer, 2005.
6. Crawley E.F., de Luis J., “Use of piezoelectric actuators as elements of intelligent structures,” AIAA Journal, 25(10), 1987.
7. Berlincourt D., Curran D.R., Jaffe H., “Piezoelectric and Piezomagnetic Materials and Their Function in Transducers,” Physical Acoustics, Vol. 1A, Academic Press, 1964.
8. Dassault Systèmes, Abaqus Analysis User’s Guide — Piezoelectric Analysis, 2023.