CAE 误差分类：结果诊断与可信度验证

把误差分成"建模、离散、迭代、输入、实现"五类并不难，难的是给出每一类的量级区间和量化手段，否则分类只是标签。本文给出五类误差的典型百分比区间、把残差容差换算成解误差上界的公式、Richardson 外推与 GCI 的算法，以及输入不确定度的合成方法，用于判断一次计算的总误差由谁主导。

五类误差的量级区间

误差类别	典型量级	量化手段	主导时的症状
模型误差（闭合、本构、边界假设）	5%～30%，湍流模型在分离区可达 50%	与高保真解或实验对照，模型形式不确定度分析	网格加密与迭代收紧都不改善
离散误差（截断 + 网格）	粗网格 1%～10%，收敛网格 0.1%～0.5%	Richardson 外推、GCI、观测阶	目标量随网格单调变化
迭代误差（代数未收敛）	由残差容差决定，相对残差 $10^{-3}\sim10^{-8}$	残差与条件数换算	残差仍在下降，目标量随之漂移
输入误差（材料、边界、几何）	材料 1%～5%，边界条件 2%～10%	灵敏度系数 + 不确定度传播	多工况同向偏移
实现误差（代码、单位、符号）	应为 0，未清除时可达 100%	制造解、单元测试	结果与量级估算矛盾

关键判据：模型误差在 5%～30% 区间，而离散误差在收敛网格上通常低于 0.5%。因此当"加密到 2 mm 仍差 8%"时，误差几乎必然来自模型或输入，而不是离散——继续加密是错误方向。

迭代误差与残差容差的换算

残差只说明线性系统解得如何，不是解误差本身。二者的换算由条件数控制：

$$\frac{\|x-x_k\|}{\|x\|}\le \kappa(A)\,\frac{\|r_k\|}{\|b\|},$$

$\kappa(A)$ 为矩阵条件数，$r_k=b-Ax_k$ 为第 $k$ 步残差。一次可核对的手算：结构化网格上 $\kappa(A)=10^{4}$，若残差容差设为 $10^{-3}$，则解误差上界为 $10^{4}\times10^{-3}=10$，即 1000%，完全不可用；要把解误差压到 $10^{-4}$（0.01%），需要 $10^{-4}/10^{4}=10^{-8}$ 的相对残差。这就是不可压 CFD 的压强方程常要求 $10^{-8}$ 而不是默认 $10^{-3}$ 的原因。若预条件把 $\kappa$ 降到 $10^{2}$，同样 $10^{-6}$ 残差即可达到 $10^{-4}$ 解误差，迭代次数从数千次降到几十次。

离散误差的外推与 GCI

用两套网格（加密比 $r$）和观测阶 $p$ 可估计细网格上的离散误差：

$$E_{disc}\approx\frac{f_{1}-f_{2}}{r^{p}-1},$$

$f_1,f_2$ 为粗、细网格上的目标量。取 $r=2$、$p=1.13$、$f_1-f_2=1.042-1.018=0.024$，则

$$E_{disc}=\frac{0.024}{2^{1.13}-1}=\frac{0.024}{1.188}=0.0202 .$$

以 $f_2=1.018$ 为参考，相对离散误差为 $0.0202/1.018=1.98\%$。取安全因子 $F_s=1.25$（三套网格），网格收敛指数

$$\mathrm{GCI}=F_s\frac{|E_{disc}|}{f_2}=1.25\times1.98\%=2.48\%,$$

即细网格解的真实误差有 95% 把握落在 2.48% 以内。若工程容差是 1%，则当前网格不满足要求，必须再加密一级或改用更高阶格式。

输入误差的传播

当目标量 $Q$ 依赖多个不确定参数 $p_i$（弹性模量、载荷、导热系数），其一阶传播为

$$\sigma_Q^2=\sum_i\left(\frac{\partial Q}{\partial p_i}\right)^2\sigma_{p_i}^2 .$$

手算：悬臂梁端部位移 $Q\propto 1/E$，弹性模量 $E=210\ \mathrm{GPa}\pm3\%$（即 $\pm6.3\ \mathrm{GPa}$），载荷 $F=1.0\ \mathrm{kN}\pm2\%$。以对数灵敏度表示，$\partial\ln Q/\partial\ln E=-1$、$\partial\ln Q/\partial\ln F=+1$，故相对标准差

$$\frac{\sigma_Q}{Q}=\sqrt{(-1)^2(3\%)^2+(1)^2(2\%)^2}=\sqrt{9+4}\%=3.6\%.$$

若实测位移偏差是 4.0%，其中 3.6% 可由输入不确定度解释，剩下不到 2% 才可能归因于离散或模型误差——这就是"输入误差必须先扣掉再谈其他误差"的定量理由。

失败模式：现象、根因与判定试验

现象	根因	判定试验
残差降到 $10^{-6}$ 但目标量仍以 0.5%/千步漂移	条件数大，残差容差过松	用 $\kappa(A)|r|/|b|$ 反算解误差上界
网格加密目标量单调漂移超过 2%	离散误差未进入渐近区	计算 $p_{obs}$，检查是否接近理论阶
三套网格 $p_{obs}$ 为 0.3 或负值	非渐近区或多类误差混合	补第四套网格，把 $r$ 缩到 1.5
与实验差 20% 且网格无关	模型误差主导（闭合或边界）	换湍流模型或本构，做同网格对照
所有工况同向偏 5%	输入系统偏差（单位、系数）	核对单位换算与材料数据来源
同一算例两次运行结果不同	实现误差（并行归约顺序、随机种子）	固定核数重跑并比较位模式

误差预算表

报告里应给出一行总误差而不是一句"结果可靠"：

E_model  = 12.0%   # 由模型对照给出，区间 +/-6%
E_disc   =  2.48%  # GCI, Fs=1.25, p=1.13
E_iter   =  0.01%  # kappa=1e4, residual=1e-8
E_input  =  3.60%  # E 3% + F 2%, RSS
E_total  = sqrt(12.0^2 + 2.48^2 + 0.01^2 + 3.60^2) = 12.8%

注意不能把 12.8% 与 12.0% 当作两个结论：模型误差主导时，提升网格精度或收紧残差容差对总误差的贡献小于 5%，资源应投入到模型验证上。反过来，若模型误差已压到 3%，则 $E_{disc}=2.48\%$ 立刻变成第二主导项，加密网格才开始有回报。

各误差项的隔离顺序

诊断时按"实现 → 迭代 → 离散 → 输入 → 模型"的顺序逐层剥离，因为前面的误差会污染后面的估计：实现误差（单位、符号）会让所有量级判断失效；迭代未收敛会让网格收敛研究失去意义；只有前两层受控后，Richardson 外推得到的 $E_{disc}$ 才是可信的离散误差。

参考文献：

1. Roache, P. J., Verification and Validation in Computational Science and Engineering, Hermosa Publishers, 1998.
2. Oberkampf, W. L., & Roy, C. J., Verification and Validation in Scientific Computing, Cambridge University Press, 2010.
3. ASME, V&V 20-2009: Standard for Verification and Validation in Computational Fluid Dynamics and Heat Transfer, ASME, 2009.
4. Coleman, H. W., & Stern, F., “Uncertainties and CFD code validation”, Journal of Fluids Engineering, 119(4), 795–803, 1997.
5. AIAA, Guide for the Verification and Validation of Computational Fluid Dynamics Simulations, AIAA G-077-1998, 1998.
6. Richardson, L. F., “The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems”, Philosophical Transactions of the Royal Society A, 210, 307–357, 1911.