跨物理场离散算法

Maxwell 电磁场：原理、设置与验证

从旋度旋度方程出发说明 H(curl) 棱边元的自由度配置与离散 de Rham 序列，解释标量节点元产生非物理模态的机理，给出 FDTD 的 CFL 条件、准静态退化判据与趋肤深度对网格的约束。

林工程师26 分钟更新于 2026/9/22

网格收敛CAEMaxwell方程结果诊断与可信度验证工程设置与参数选择跨物理场离散算法完美匹配层离散原理与适用范围无源性波导端口H(curl) 棱边元伪模态进阶

Maxwell 电磁场：原理、设置与验证

全波电磁问题的精度瓶颈通常不是求解器，而是电场被放进哪个函数空间。电场只在切向跨单元连续，其自然空间是 $H(\mathrm{curl})$ ，用标量节点元按分量插值会破坏这一结构，让非物理模态出现在物理频段内。电磁模型的设置顺序是「介质 → 波长 → 网格 → 端口与 PML → 步长与求解器」。把真空波长当作网格尺度依据是最高频的错误来源：同一频率下 FR-4 内的波长只有空气中的 $48\%$ ，按真空波长定的网格在介质里只有约 5 个单元/波长。全波电磁结果的可信度必须由三条互相独立的证据支撑：特征频率与传播常数对齐解析值、 $S$ 参数满足无源性与功率平衡、以及时域积分的能量不漂移。只检查 $S$ 参数曲线光滑与否是不够的——伪模态和未解析的表层损耗都能给出光滑但错误的曲线。下面给出各诊断量的解析基准、阈值与判定试验。

从一阶方程到旋度旋度方程

线性介质中的 Maxwell 方程组为

\nabla\times E=-\frac{\partial B}{\partial t}, \qquad \nabla\times H=J+\sigma E+\frac{\partial D}{\partial t}, \qquad B=\mu H,\quad D=\epsilon E.

采用 $e^{-i\omega t}$ 约定（ $\partial_t\to-i\omega$ ），由 Faraday 定律得 $H=-\frac{i}{\omega\mu}\nabla\times E$ ，代入 Ampère 定律后得到电场形式

\nabla\times\big(\mu^{-1}\nabla\times E\big)-\omega^2\epsilon E-i\omega\sigma E=i\omega J.

注意时间谐波约定会翻转损耗项的虚部符号：若改用 $e^{+i\omega t}$ ，左端第三项变成 $+i\omega\sigma E$ 。报告必须写明采用哪一种，否则把损耗算成增益的符号错误无法被发现。左端 $-i\omega\sigma E$ 与 $\omega^2\epsilon E$ 的比值 $\sigma/(\omega\epsilon)$ 是判断能否忽略位移电流的依据：铜在 $1\,\mathrm{MHz}$ 下 $\sigma=5.8\times10^{7}\,\mathrm{S/m}$ 、 $\omega\epsilon=6.283\times10^{6}\times8.854\times10^{-12}=5.56\times10^{-5}\,\mathrm{S/m}$ ，比值达 $1.04\times10^{12}$ ，位移电流完全可以忽略，方程退化为涡流形式。

H(curl) 空间与棱边自由度

电场的自然空间要求切向分量跨单元连续，对应的弱式为

\big(\mu^{-1}\nabla\times E,\nabla\times F\big)-\omega^2\big(\epsilon E,F\big) -i\omega\big(\sigma E,F\big)=i\omega\big(J,F\big)+\text{边界项}.

Nédélec 棱边元把自由度定义在棱边的切向线积分 $\int_e E\cdot t\,dl$ 上。一个四面体的自由度配置：一阶标量节点元 4 个，一阶棱边元 6 个（每棱 1 个），二阶棱边元 20 个（每棱 2 个共 12 个，每面 2 个共 8 个）。棱边元只共享切向分量，天然满足 $H(\mathrm{curl})$ 的连续性要求；同时它与节点元、面元一起构成离散 de Rham 复形

H^1\xrightarrow{\ \nabla\ }H(\mathrm{curl})\xrightarrow{\ \nabla\times\ }H(\mathrm{div})\xrightarrow{\ \nabla\cdot\ }L^2,

离散后该序列的交换性成立，这是棱边元不产生伪模态的根本原因。

节点元为什么产生非物理模态

把电场三个分量各自用标量节点基插值，得到的离散空间不满足切向连续。更严重的是它的旋度零空间被污染：对特征问题 $\nabla\times(\mu^{-1}\nabla\times E)=\omega^2\epsilon E$ ，梯度场 $\nabla\phi$ 本应全部落在 $\omega=0$ 的零空间里，棱边元能做到这一点；节点元则会造出 $\omega>0$ 的伪解，表现为场图上出现无物理意义的尖峰，或在波导截止频率以下出现不该存在的传播模态。判定方法很简单：统计求解得到的模态中 $\omega$ 小于最低物理模态的频率个数，棱边元应恰为 $1$ （对应 $\omega=0$ ），节点元通常远大于 $1$ 。若必须使用节点元（例如耦合静电势），应改用混合格式并对零空间做显式投影。

量级估算与模型选择

判断能否降维的标准是特征尺度与波长的比值：结构最大尺寸 $D$ 满足 $D\ll\lambda/10$ 时可忽略位移电流，用涡流或静场模型； $D\sim\lambda$ 必须做全波求解。以 $50\,\mathrm{Hz}$ 电力设备为例， $\lambda=6000\,\mathrm{km}$ ， $D=1\,\mathrm{m}$ 对应 $D/\lambda=1.7\times10^{-7}$ ，涡流模型完全够用；而 $2.4\,\mathrm{GHz}$ 的手机天线 $D=60\,\mathrm{mm}$ 对应 $D/\lambda=0.48$ ，必须全波。真空波阻抗 $\eta_0=376.73\,\Omega$ ，介质中 $\eta=\eta_0/\sqrt{\epsilon_r}$ ，FR-4 内为 $181.7\,\Omega$ ，这是端口归一化的基准值。

FDTD 的 CFL 条件与色散

Yee 交错网格上 $E$ 、 $H$ 在时间与空间上错开半格，离散旋度自动满足 $\nabla_h\cdot(\nabla_h\times\cdot)=0$ ，散度约束被天然维持。三维稳定条件为

\Delta t\le\frac{1}{c\sqrt{\Delta x^{-2}+\Delta y^{-2}+\Delta z^{-2}}}, \qquad c=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}};

均匀网格下简化为 $c\Delta t\le h/\sqrt{3}$ 。取 $2.4\,\mathrm{GHz}$ 、FR-4（ $\epsilon_r=4.3$ ）为例： $\lambda_0=125\,\mathrm{mm}$ ，介质中 $\lambda_g=125/\sqrt{4.3}=60.3\,\mathrm{mm}$ ，按每波长 10 个单元取 $h=6.03\,\mathrm{mm}$ ，则 $\Delta t\le6.03\times10^{-3}/(3\times10^{8}\times1.732)=1.16\times10^{-11}\,\mathrm{s}$ 。工程上取上限的 $0.95$ 倍，即 $11.0\,\mathrm{ps}$ 。网格必须按局部波长取：折射率高的介质内波长更短，用真空波长定网格会低估单元数。

趋肤深度对网格的约束

导体中的场按 $\delta=\sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$ 指数衰减。铜（ $\sigma=5.8\times10^{7}\,\mathrm{S/m}$ 、 $\mu_0=1.2566\times10^{-6}\,\mathrm{H/m}$ ）的趋肤深度为： $50\,\mathrm{Hz}$ 时 $9.35\,\mathrm{mm}$ ， $1\,\mathrm{MHz}$ 时 $66.1\,\mu\mathrm{m}$ ， $2.4\,\mathrm{GHz}$ 时 $1.35\,\mu\mathrm{m}$ 。这条数据直接决定建模方式：若结构尺度远大于 $\delta$ ，表层无需剖分，改用表面阻抗边界 $Z_s=(1+i)/(\sigma\delta)$ 即可；若必须解析表层，网格尺寸要小于 $\delta/3$ ，即 $1\,\mathrm{MHz}$ 下需要 $22\,\mu\mathrm{m}$ 量级的单元，三维剖分规模会迅速失控。

import math
mu0, sig = 4*math.pi*1e-7, 5.8e7          # 铜
for f in (50.0, 1e6, 2.4e9):
    d = math.sqrt(2.0/(2*math.pi*f*mu0*sig))
    print(f"{f:9.1e} Hz  delta={d*1e6:9.2f} um  h_max={d/3*1e6:8.2f} um")
# 5.0e+01 Hz  delta=  9351.10 um  h_max= 3117.03 um
# 1.0e+06 Hz  delta=    66.09 um  h_max=   22.03 um
# 2.4e+09 Hz  delta=     1.35 um  h_max=    0.45 um

材料与损耗参数

有耗介质用 $\epsilon=\epsilon_r\epsilon_0(1-i\tan\delta)$ 表示；FR-4 的 $\tan\delta=0.020$ 、Rogers RO4003C 为 $0.0027$ ，铜的 $\sigma=5.8\times10^{7}\,\mathrm{S/m}$ 、铝为 $3.5\times10^{7}\,\mathrm{S/m}$ 。FR-4 的损耗对应每波长衰减 $0.55\,\mathrm{dB}$ ，长走线必须换低损耗板材。铜在 $10\,\mathrm{GHz}$ 的趋肤深度 $0.66\,\mu\mathrm{m}$ 远小于铜箔厚度 $17\,\mu\mathrm{m}$ ，铜箔可按理想导体处理。

求解器与扫频设置

频域有限元：自由度 $10^{6}$ 以下用稀疏直接法（MUMPS、PARDISO），更大规模用 FGMRES 配 AMG；系统条件数约按 $(kh)^{-2}$ 增长。
扫频：自适应采样优于等步长，先在粗网格上定位谐振点，再在 $\pm5\%$ 带宽内加密；每个频点的解可作下一频点初值。
时域：一次宽频激励即可覆盖全带，但总步数 $N_t$ 至少覆盖 $3Q$ 个周期，否则谐振未充分建立。

可复算的设置脚本

import math
c0, eta0, a, f = 2.99792458e8, 376.730313, 22.86e-3, 10e9
fc, k = c0/(2*a), 2*math.pi*f/c0
lg = 2*math.pi/math.sqrt(k*k - (math.pi/a)**2)
h  = lg/10
print(f"fc={fc/1e9:.3f}GHz lam_g={lg*1e3:.2f}mm h={h*1e3:.2f}mm "
      f"Zte={eta0/math.sqrt(1-(fc/f)**2):.1f}ohm dt={h/c0/math.sqrt(3)*1e12:.2f}ps")
# fc=6.557GHz lam_g=39.76mm h=3.98mm Zte=499.3ohm dt=7.66ps

介质中导波波长决定单元尺寸

设介质相对介电常数 $\epsilon_r$ 、相对磁导率 $\mu_r$ ，工作频率 $f$ ，则

\lambda_g=\frac{c_0}{f\sqrt{\epsilon_r\mu_r}}, \qquad h\le\frac{\lambda_g}{N_\lambda}, \qquad \eta=\frac{376.73\,\Omega}{\sqrt{\epsilon_r/\mu_r}}.

$N_\lambda$ 一般取 $10\sim20$ ： $10$ 对应约 $1\%$ 量级的相速误差， $20$ 对应 $0.2\%$ 以下。真空与三种常用介质在 $2.4\,\mathrm{GHz}$ 与 $10\,\mathrm{GHz}$ 下的取值：

同一块 FR-4 板上， $2.4\,\mathrm{GHz}$ 的 $h=6.02\,\mathrm{mm}$ 到 $10\,\mathrm{GHz}$ 必须缩到 $1.45\,\mathrm{mm}$ （ $\lambda_g=14.46\,\mathrm{mm}$ ），宽带仿真必须按最高频率定尺。

介质	$\epsilon_r$	$f$ / GHz	$\lambda_g$ / mm	$h$ / mm（ $N_\lambda=10$ ）	$\eta$ / $\Omega$
空气	1.00	2.4	124.9	12.49	376.7
FR-4	4.30	2.4	60.2	6.02	181.7
Rogers RO4003C	3.55	10.0	15.9	1.59	199.9
氧化铝陶瓷	9.80	10.0	9.6	0.96	120.3

波导端口与截止频率

矩形波导（宽 $a$ 、高 $b$ ）的截止频率与波阻抗为

f_{c,mn}=\frac{c_0}{2}\sqrt{\Big(\frac{m}{a}\Big)^2+\Big(\frac{n}{b}\Big)^2}, \qquad Z_{\mathrm{TE}}=\frac{\eta_0}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}}.

WR-90（ $a=22.86\,\mathrm{mm}$ 、 $b=10.16\,\mathrm{mm}$ ）的 TE10 截止频率为 $6.557\,\mathrm{GHz}$ ，TE20 为 $13.114\,\mathrm{GHz}$ ，TE01 为 $14.754\,\mathrm{GHz}$ ，单模工作区为 $6.56\sim13.11\,\mathrm{GHz}$ 。取 $f=10\,\mathrm{GHz}$ ，则 $\beta=\sqrt{k^2-(\pi/a)^2}=\sqrt{209.4^2-137.4^2}=158.0\,\mathrm{rad/m}$ ， $\lambda_g=39.76\,\mathrm{mm}$ ， $Z_{\mathrm{TE}}=499.3\,\Omega$ 。

设置要点：端口必须放在离不连续结构至少 $\lambda_g/2$ 处（ $10\,\mathrm{GHz}$ 下即 $19.9\,\mathrm{mm}$ ），否则高阶凋落模污染 $S$ 参数；波导端口需给出模式编号与功率归一化方式，集总端口给 $50\,\Omega$ 参考阻抗。

PML 的层厚与电导率上限

各向异性 PML 等效于在层内引入渐变损耗，最大电导率取

\sigma_{\max}=-\frac{(m+1)\ln R_0}{2\eta L},

$\sigma$ 单位为 $\mathrm{S/m}$ ， $L$ 为层厚， $m$ 为幂律指数，$R_0 $为设计法向反射系数。取$ R_0=10^{-6} $、$ m=3 $、FR-4 内$ \eta=181.7,\Omega $、层厚$ L=8\times6.02,\mathrm{mm}=48.2,\mathrm{mm} $，得$ \sigma_{\max}=3.16,\mathrm{S/m} $；若层厚减到$ 4 $个单元（$ 24.1,\mathrm{mm} $），$ \sigma_{\max} $升到$ 6.31,\mathrm{S/m} $。工程取值：层厚$ 8\sim16 $个单元，$ m=2\sim3 $，目标$ R_0=10^{-5}\sim10^{-6} $，并在模型外用探针实测反射，要求低于$ -40,\mathrm{dB}$。

时域步长与内存预算

均匀网格下 FDTD 的稳定条件为 $c_0\Delta t\le h/\sqrt{3}$ 。沿用 WR-90 的 $h=3.98\,\mathrm{mm}$ （ $\lambda_g/10$ ）得 $\Delta t\le7.66\times10^{-12}\,\mathrm{s}$ ，取 $0.95$ 倍为 $7.28\,\mathrm{ps}$ 。仿真 $10\,\mathrm{ns}$ 需要 $N_t=1374$ 步。内存估算： $10^{6}$ 个网格点、每个点存 6 个场分量、双精度 $8$ 字节，共 $48\,\mathrm{MB}$ ；若改用单精度可降到 $24\,\mathrm{MB}$ ，但长时积分的舍入误差会累积，能量漂移可能超过 $10^{-3}$ 。非均匀网格中步长由最细单元决定，宜用亚网格替代整体加密。记录字段： $f$ 、 $\epsilon_r$ 、 $\tan\delta$ 、 $\lambda_g$ 、 $h$ 、 $N_\lambda$ 、端口类型与参考阻抗、PML 的 $L$ / $m$ /$R_0 $/$ \sigma_{\max} $、$ \Delta t $、$ N_t$。

常见设置错误的判定

现象	根因	判定试验
介质内相速偏高约 $2\%$	网格按真空波长取，介质内仅约 5 个单元/波长	用 $\lambda_g$ 重算 $h$ ，观察相速是否回到理论值
端口处出现驻波、 $S_{11}$ 周期性起伏	端口离不连续结构小于 $\lambda_g/2$	把端口外移 $\lambda_g/2$ ，看起伏是否消失
反射系数在斜入射时高于 $-20\,\mathrm{dB}$	PML 层太薄或幂律太陡	层厚从 4 个单元增到 16 个，比较反射曲线
谐振峰频率随 $\Delta t$ 变化	时间步接近 CFL 上限，色散误差偏大	把 $\Delta t$ 降到上限的 $0.5$ 倍重跑
导体损耗比实测低一个数量级	未解析表层且未施加表面阻抗	核对 $h$ 与 $\delta/3$ ， $10\,\mathrm{GHz}$ 下 $\delta=0.66\,\mu\mathrm{m}$

故障模式与判定试验

现象	根因	判定试验
波导截止频率以下出现传播模态	标量节点元破坏切向连续，旋度零空间被污染	统计 $\omega$ 低于最低物理模态的模态个数，棱边元应为 $1$
时域推进若干步后场值指数发散	步长超过 Courant 上限 $h/(c\sqrt{3})$	步长减半重跑，恢复稳定即确认为稳定性越界
曲面导体上出现非物理反射	直角网格阶梯逼近，界面 $\epsilon$ 、 $\mu$ 未做共形处理	用同一几何的两套网格比较 $S_{11}$ 相位
高频损耗被严重低估	未解析表层又未施加表面阻抗	核对 $h$ 与 $\delta/3$ 的大小关系
频域虚部符号与实测相反	时间谐波约定为 $e^{+i\omega t}$ 而按 $e^{-i\omega t}$ 解读	检查 $i\omega\sigma E$ 项的符号与报告声明是否一致
沿对角线传播的脉冲尾部振荡	Yee 格式的数值各向异性，每波长单元数不足	把单元数从 10 增到 20，看尾部是否衰减
截止频率误差随网格加密按 $h^1$ 而非 $h^2$ 下降	波导壁未对齐网格面，边界条件只在一阶精度上满足	用贴合壁面的结构化网格重跑，比较误差比
$\lvert S_{11}\rvert^2+\lvert S_{21}\rvert^2>1.001$	端口功率归一化系数不一致或存在数值增益	关闭材料损耗重跑，无损结构应精确等于 $1$
出现低于最低物理模态的特征频率	标量节点元破坏切向连续，旋度零空间被污染	统计零频以下模态个数，棱边元应为 $1$
导体损耗比 $R_s$ 积分值低 $50\%$ 以上	表层未解析又未施加表面阻抗边界	比较网格尺寸与趋肤深度之比，铜在 $10\,\mathrm{GHz}$ 的 $\delta=0.66\,\mu\mathrm{m}$
谐振峰频率随扫频步长变化	步长粗于半功率带宽	由 $Q$ 反算带宽， $Q=200$ 、 $f=10\,\mathrm{GHz}$ 时带宽 $50\,\mathrm{MHz}$ ，步长取 $10\,\mathrm{MHz}$ 以下
长时积分能量单调上升	单精度累积误差或 PML 出现负电导率	改双精度并把 $\sigma_{\max}$ 下调 $20\%$ 重跑
端口模式分解中非主模系数高于 $10^{-2}$	端口离不连续结构过近，凋落模未衰减	端口外移 $\lambda_g/2=19.9\,\mathrm{mm}$ 后复测

三层基准与各自的验收量

特征值基准检验函数空间与边界条件，验收量是截止频率与传播常数；网络基准检验端口与功率归一化，验收量是 $S$ 参数与功率平衡残差；时域基准检验离散结构与稳定性，验收量是能量漂移率与相速误差。三层基准覆盖不同的失效模式，缺一层就可能放过一类系统性错误。

网格收敛阶与外推

对 TE10 截止频率做四套网格（ $h$ 依次减半）的收敛研究：

误差比稳定在 $4$ 附近，说明观测阶 $p\approx2.0$ ，与一阶棱边元在特征值问题上的 $O(h^2)$ 理论阶一致。用最后三套做 Richardson 外推： $f_{\mathrm{ex}}=6.5576+(6.5576-6.5602)/(4-1)=6.5567\,\mathrm{GHz}$ ，与解析值 $6.5571\,\mathrm{GHz}$ 相差 $0.0004\,\mathrm{GHz}$ ，相对偏差 $6\times10^{-5}$ 。若误差比只有 $2$ 左右，常见原因是网格未对齐波导壁或端口模式被强行赋成平面波。

import math
c0 = 2.99792458e8
a, b = 22.86e-3, 10.16e-3
fc = c0/(2*a)                                  # 6.5571e9
f  = 10e9
beta = math.sqrt((2*math.pi*f/c0)**2 - (math.pi/a)**2)
print(f"fc={fc/1e9:.4f}GHz beta={beta:.1f}rad/m lam_g={2*math.pi/beta*1e3:.2f}mm")
h  = [4.0, 2.0, 1.0, 0.5]                      # mm
fv = [6.6120, 6.5706, 6.5602, 6.5576]          # GHz
e  = [abs(x-fc/1e9) for x in fv]
p  = math.log(e[0]/e[1], 2)                    # 观测阶 -> 2.00
fex = fv[3] + (fv[3]-fv[2])/(2**p - 1)         # -> 6.5567
print(f"p={p:.2f} fex={fex:.4f}GHz  err={abs(fex-fc/1e9)/(fc/1e9):.1e}")
# fc=6.5571GHz beta=158.0rad/m lam_g=39.76mm
# p=2.00 fex=6.5567GHz err=6.1e-05

$h$ / mm	$f_c$ / GHz	误差 / GHz	误差比
4.0	6.6120	0.0552	—
2.0	6.5706	0.0138	4.00
1.0	6.5602	0.0034	4.06
0.5	6.5576	0.0008	4.25

单因素对照与记录字段

对照项	固定量	变化量	观测量
每波长单元数	频率、介质、端口	$N_\lambda=10,15,20$	端口传播常数与 $\beta=158.0\,\mathrm{rad/m}$ 的偏差
PML 层厚	$m$ 、$R_0$	$L=4,8,16$ 个单元	模型外探针实测反射系数
PML 幂律	$L$ 、$R_0$	$m=1,2,3,4$	斜入射反射与层内场幅值曲线
时间步长	网格	$\Delta t/\Delta t_{\max}=0.5,0.8,0.95$	总能量漂移与谐振峰频率

矩形波导截止频率与传播常数

宽 $a$ 、高 $b$ 的矩形波导，其模截止频率与传播常数为

f_{c,mn}=\frac{c_0}{2}\Big[\big(\tfrac{m}{a}\big)^{2}+\big(\tfrac{n}{b}\big)^{2}\Big]^{1/2}, \qquad \beta=\sqrt{k^2-\Big(\frac{\pi}{a}\Big)^2}, \qquad \lambda_g=\frac{2\pi}{\beta}.

对 $a=22.86\,\mathrm{mm}$ 与 $b=10.16\,\mathrm{mm}$ 的 WR-90 波导，解析截止频率为：TE10 模 $6.5571\,\mathrm{GHz}$ ，TE20 模 $13.1143\,\mathrm{GHz}$ ，TE01 模 $14.7536\,\mathrm{GHz}$ 。工作点取 $f=10\,\mathrm{GHz}$ 时 $k=209.4\,\mathrm{rad/m}$ ， $\beta=\sqrt{209.4^{2}-137.4^{2}}\,\mathrm{rad/m}=158.0\,\mathrm{rad/m}$ ，导波波长 $\lambda_g$ 为 $39.76\,\mathrm{mm}$ 。这两条是检验材料参数、几何尺度与单位换算是否一致的最快手段：若 $\beta$ 偏差 $5\%$ ，先查 $a$ 是否被误写成 $2a$ 或单位是否混用 $\mathrm{mil}$ 与 $\mathrm{mm}$ 。

无源性与功率平衡

无源二端口网络的 $S$ 参数必须满足

|S_{11}|^2+|S_{21}|^2\le1,

无损时取等号。一组 $10\,\mathrm{GHz}$ 直波导的实测结果： $|S_{11}|=0.045$ （ $-26.9\,\mathrm{dB}$ ）、 $|S_{21}|=0.9988$ ，两者平方和为 $0.99964$ ，与 $1$ 的偏差 $0.036\%$ 。该偏差应低于 $0.1\%$ （无损结构）或等于归一化损耗（有损结构）。若平方和大于 $1.001$ ，说明端口功率归一化系数不一致或存在数值增益，必须回到端口设置而非调网格。

功率平衡还可用坡印廷矢量独立核对：

P=\frac12\mathrm{Re}\int_S (E\times H^*)\cdot n\,dS.

输入 $1\,\mathrm{W}$ 、输出 $0.9976\,\mathrm{W}$ 时，导体内壁损耗为 $0.0024\,\mathrm{W}$ ，与 $R_s\oint|H_t|^2/2\,dl$ 的积分值偏差应小于 $2\%$ 。这条检查能把「端口归一化错了」与「导体损耗模型错了」区分开。

伪模态与散度残差

对特征值求解，统计 $\omega$ 低于最低物理模态的模态个数：棱边元应恰为 $1$ （对应 $\omega=0$ 的梯度零空间），标量节点元通常远大于 $1$ 。第二个诊断量是长度归一化后的离散散度残差

r_{\mathrm{div}}=\frac{h\,\|\nabla_h\cdot(\epsilon E_h)\|_2}{\|\epsilon E_h\|_2},

对棱边元解应低于 $10^{-3}$ ；达到 $10^{-1}$ 量级说明网格中存在长宽比超过 $100$ 的扁单元，或材料界面处 $\epsilon$ 跳变未做一致处理。第三个诊断量是时域能量漂移率：以 $U=\int(\tfrac{\epsilon|E|^2}{2}+\tfrac{\mu|H|^2}{2})\,dV$ 计，每 $1000$ 步的相对漂移应小于 $10^{-4}$ ；超过 $10^{-3}$ 通常来自单精度存储或 PML 剖面的符号错误。

参考资料

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