有限体积法：从积分守恒到离散方程

有限体积法把计算域划分为互不重叠的控制体，并在每个控制体上执行守恒平衡。它不要求变量在单元内部精确变化，只要求通过各个面的通量计算一致，因此适合复杂几何和守恒律问题。

1. 通用输运方程

∂(ρφ)/∂t + ∇·(ρuφ) = ∇·(Γ∇φ) + Sφ

对控制体积分并使用高斯定理后，体积分中的散度转换为各面的通量和。离散问题由“每个面的对流通量、扩散通量和源项怎样近似”决定。

2. 单元中心与面值

多数求解器把压力、速度和温度保存在单元中心。计算面通量时需要从相邻单元重构面值。迎风、中心和高分辨率格式的主要差别就在这一重构过程。

3. 离散方程结构

每个控制体最终得到：

aP φP = Σ aN φN + b

系数应保持合理的对角占优和有界性。强非线性源项通常需要线性化；不正确的源项符号可能破坏稳定性或产生非物理解。

4. 局部守恒

共享面的通量对相邻两个控制体符号相反，因此内部面贡献在全局求和时抵消。实现和后处理都应使用与求解一致的面通量，而不是仅用节点插值估算守恒量。

5. 工程检查

• 网格面法向和体积必须有效；
• 关注非正交修正与梯度重构；
• 高阶格式需要有界限制器；
• 比较一阶与二阶结果，量化数值耗散；
• 用整体守恒和网格加密验证离散实现。

6. 参考资料

1. Patankar, Numerical Heat Transfer and Fluid Flow.
2. Moukalled, Mangani & Darwish, The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics.