复合材料铺层：物理建模与适用边界

铺层结构不能用各向同性单元的强度判据评估，因为纤维方向的强度可以比横向高 30 倍，失效模式也从纤维断裂切换到基体开裂、分层。铺层建模的边界在于两条假设：单层处于平面应力状态，以及失效准则能区分不同模式。本文给出单层折减刚度、层合板 ABD 矩阵与 Tsai–Wu 准则的形式，用一个可手算的单层算例核对刚度与强度，并说明何时必须从壳升级到实体加黏聚单元。

单层的平面应力刚度

连续纤维单层在厚度方向应力可忽略，处于平面应力状态。由工程常数得到的折减刚度矩阵各分量为

$$Q_{11}=\frac{E_1}{1-\nu_{12}\nu_{21}},\qquad Q_{22}=\frac{E_2}{1-\nu_{12}\nu_{21}},\qquad Q_{12}=\frac{\nu_{12}E_2}{1-\nu_{12}\nu_{21}},\qquad Q_{66}=G_{12}$$

且 $\nu_{21}=\nu_{12}E_2/E_1$。取 T300/914 碳纤维/环氧单层：$E_1=135,\mathrm{GPa}$，$E_2=10.0,\mathrm{GPa}$，$G_{12}=5.0,\mathrm{GPa}$，$\nu_{12}=0.30$。先算耦合项

$$\nu_{21}=0.30\times\frac{10.0}{135}=0.0222,\qquad 1-\nu_{12}\nu_{21}=1-0.00667=0.9933$$ $$Q_{11}=\frac{135\times10^{3}}{0.9933}=1.359\times10^{5}\,\mathrm{MPa}=135.9\,\mathrm{GPa}$$ $$Q_{22}=\frac{10.0\times10^{3}}{0.9933}=1.007\times10^{4}\,\mathrm{MPa}=10.07\,\mathrm{GPa},\qquad Q_{12}=\frac{0.30\times10.0\times10^{3}}{0.9933}=3.02\,\mathrm{GPa}$$

$Q_{11}$ 比 $Q_{22}$ 大 13.5 倍，正是这个各向异性让铺层方向成为设计变量。

层合板与铺层顺序

多层板按经典层合板理论（CLT）合成，内力与应变的关系为

$$\begin{Bmatrix}\mathbf N\\ \mathbf M\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf A & \mathbf B\\ \mathbf B & \mathbf D\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\boldsymbol\varepsilon^{0}\\ \boldsymbol\kappa\end{Bmatrix}$$

$\mathbf A$ 是面内刚度，$\mathbf B$ 是耦合刚度，$\mathbf D$ 是弯曲刚度，三者由各层 $\bar{\mathbf Q}$ 沿厚度积分得到。铺层设计的经验判据：对称铺层使 $\mathbf B=0$，消除拉伸-弯曲耦合引起的固化翘曲；$\pm45^{\circ}$ 层提供剪切刚度；90° 层提高横向强度但降低纤维方向效率。准各向同性铺层 $[0/\pm45/90]_s$ 的面内模量约为 $0.55E_1$。单层厚度常用 0.125 mm，典型层合板 16 层总厚 2.0 mm。

Tsai–Wu 强度准则与一次核对

Tsai–Wu 用一个张量型二次式统一描述各向异性强度：

$$F_1\sigma_1+F_2\sigma_2+F_{11}\sigma_1^{2}+F_{22}\sigma_2^{2}+2F_{12}\sigma_1\sigma_2+F_{66}\tau_{12}^{2}=1$$

强度参数由单层强度确定：$F_1=1/X_t-1/X_c$，$F_2=1/Y_t-1/Y_c$，$F_{11}=1/(X_tX_c)$，$F_{22}=1/(Y_tY_c)$，$F_{66}=1/S^{2}$，$F_{12}$由双轴试验标定，常取$F_{12}=-\tfrac12\sqrt{F_{11}F_{22}}$。

取单层强度 $X_t=1500\,\mathrm{MPa}$、$X_c=1200\,\mathrm{MPa}$、$Y_t=50\,\mathrm{MPa}$、$Y_c=200\,\mathrm{MPa}$、$S=70\,\mathrm{MPa}$。纯纤维方向加载时 $\sigma_2=\tau_{12}=0$，方程退化为 $F_1\sigma_1+F_{11}\sigma_1^{2}=1$，即

$$5.556\times10^{-7}\sigma_1^{2}-1.667\times10^{-4}\sigma_1-1=0$$

解得 $\sigma_1=(300+\sqrt{300^{2}+4\times1.8\times10^{6}})/2=1500\,\mathrm{MPa}$，恰好回到 $X_t$，说明参数自洽。再看混合载荷 $\sigma_1=800\,\mathrm{MPa}$、$\tau_{12}=40\,\mathrm{MPa}$：

$$\text{TSW}=(-1.667\times10^{-4})(800)+(5.556\times10^{-7})(800^{2})+(2.041\times10^{-4})(40^{2})=0.549$$

利用率 0.549 < 1，安全裕度约 1.82 倍。其中纤维方向项贡献 0.222，剪应力项贡献 0.327，说明剪应力在此载荷下已占主导。

失效模式

现象	根因	判定试验
首层失效后结构突然失去承载	未做逐层失效退化（ply discount）	逐层计算 Tsai–Wu，检查首层位置与顺序
层合板固化后出现翘曲	铺层不对称，$\mathbf B\ne0$	检查铺层对称性，输出 $\mathbf B$ 矩阵范数
分层未被预测	壳模型无法表示层间应力	用实体单元加黏聚界面复算
强度预测偏乐观	用最大应力准则忽略耦合项	与 Tsai–Wu 或 Hashin 准则对比
横向开裂后刚度不变	未启用材料退化	检查退化后模量是否按模式降低
边缘应力异常高	自由边层间应力奇异	细化边缘网格并核对层间应力

铺层与强度校核脚本

import numpy as np

E1, E2, G12, nu12 = 135000.0, 10000.0, 5000.0, 0.30   # MPa
nu21 = nu12 * E2 / E1
den = 1 - nu12 * nu21
Q11 = E1 / den; Q22 = E2 / den; Q12 = nu12 * E2 / den; Q66 = G12
print(round(Q11, 1), round(Q22, 1), round(Q12, 1))     # 135906.2 10067.1 3020.1

Xt, Xc, Yt, Yc, S = 1500.0, 1200.0, 50.0, 200.0, 70.0
F1 = 1/Xt - 1/Xc; F11 = 1/(Xt*Xc); F66 = 1/S**2
s1, t12 = 800.0, 40.0
TSW = F1*s1 + F11*s1**2 + F66*t12**2
print(round(TSW, 3))                                    # 0.549

参考文献

1. Jones, R.M. Mechanics of Composite Materials, 2nd ed. Taylor & Francis, 1999.
2. Tsai, S.W., Wu, E.M. “A general theory of strength for anisotropic materials.” Journal of Composite Materials, 5(1), 58–80, 1971.
3. Daniel, I.M., Ishai, O. Engineering Mechanics of Composite Materials, 2nd ed. Oxford University Press, 2006.
4. Hashin, Z. “Failure criteria for unidirectional fiber composites.” Journal of Applied Mechanics, 47(2), 329–334, 1980.
5. Herakovich, C.T. Mechanics of Fibrous Composites. Wiley, 1998.
6. ASTM D3039/D3039M-17. Standard Test Method for Tensile Properties of Polymer Matrix Composite Materials. ASTM International, 2017.