疲劳评估：物理建模与适用边界

疲劳分析的适用边界由两个坐标决定：循环数落在高周还是低周区间，以及平均应力是否为零。用错区间会把寿命算错一到两个数量级，忽略平均应力则会让拉伸均值下的构件被系统性高估。本文给出应力-寿命（S–N）幂律、平均应力修正与 Miner 累积损伤的形式，用两点数据反算 S–N 斜率，并完成一次可核对的寿命与损伤累加。

应力-寿命曲线与 Basquin 幂律

高周疲劳（HCF，$N>10^{4}\sim10^{5}$）用应力幅控制，S–N 曲线在双对数坐标下近似直线：

$$\sigma_a=\sigma_f'\left(2N_f\right)^{b}\quad\Longleftrightarrow\quad N_f=N_1\left(\frac{S_1}{\sigma_a}\right)^{m}$$

$b$ 是疲劳强度指数（钢材约 $-0.05\sim-0.12$），$m=-1/b$ 是 S–N 斜率。低周疲劳（LCF，$N<10^{4}$）进入塑性，必须改用应变-寿命的 Coffin–Manson 关系

$$\frac{\Delta\varepsilon}{2}=\frac{\sigma_f'}{E}\left(2N_f\right)^{b}+\varepsilon_f'\left(2N_f\right)^{c}$$

$\sigma_f'$ 是疲劳强度系数、$\varepsilon_f'$ 是疲劳延性系数。判据很直接：缺口根部名义应力接近屈服、循环数低于 $10^{4}$ 时用应变法；应力远低于屈服、循环数高于 $10^{5}$ 时用应力法。钢材还有疲劳极限，约 $0.4\sim0.5$ 倍抗拉强度，低于该幅值的循环不产生损伤（铝合金无此极限）。

一次可核对的寿命与损伤计算

由两点 S–N 数据标定斜率：$S_1=300,\mathrm{MPa}$对应$N_1=1.0\times10^{5}$，$S_2=200,\mathrm{MPa}$对应$N_2=1.0\times10^{6}$。斜率

$$m=\frac{\log(N_2/N_1)}{\log(S_1/S_2)}=\frac{\log 10}{\log 1.5}=\frac{1.000}{0.1761}=5.68$$

在 $\sigma_a=250\,\mathrm{MPa}$ 下的寿命

$$N=N_1\left(\frac{S_1}{\sigma_a}\right)^{m}=1.0\times10^{5}\times1.2^{5.68}=2.82\times10^{5}$$

平均应力按 Goodman 关系修正：$\sigma_a/\sigma_e+\sigma_m/\sigma_u=1$。若材料在 $R=-1$ 下的等寿命幅值 $\sigma_e=200\,\mathrm{MPa}$、抗拉强度 $\sigma_u=700\,\mathrm{MPa}$、平均应力 $\sigma_m=100\,\mathrm{MPa}$，则允许的应力幅

$$\sigma_a=\sigma_e\left(1-\frac{\sigma_m}{\sigma_u}\right)=200\times\left(1-\frac{100}{700}\right)=171.4\,\mathrm{MPa}$$

比对称循环下的 200 MPa 低 14.3%，这就是拉伸平均应力的代价。

Miner 线性累积损伤把不同幅值的循环加权求和：

$$D=\sum_i\frac{n_i}{N_i}\le1$$

用上面的 S–N：载荷块 A 为 250 MPa、$n_A=1.0\times10^{5}$ 次，$N_A=2.82\times10^{5}$，损伤$D_A=0.355$；载荷块 B 为 200 MPa、$n_B=3.0\times10^{5}$次，$N_B=1.0\times10^{6}$，损伤$D_B=0.300$。合计$D=0.655<1$，未达失效。要在 B 块内耗尽剩余寿命，需再循环$(1-0.655)\times10^{6}=3.45\times10^{5}$次，即 B 块总计$6.45\times10^{5}$ 次。

失效模式

现象	根因	判定试验
寿命比试验值高一个数量级	用了对称循环 S–N 而未做平均应力修正	用 Goodman 或 Gerber 修正后复算
缺口件寿命被严重高估	未计入缺口应力集中与塑性重分布	用应变-寿命法并按 $K_t$ 修正
多轴载荷下方向判断错误	用单轴 S–N 处理多轴状态	用临界平面法求最大剪应变面
随机谱损伤明显偏小	未做雨流计数，幅值配对错误	按 ASTM E1049 做雨流计数后重算 Miner
低周疲劳用应力法算不出寿命	循环数落在 LCF 区间	改用 Coffin–Manson 应变法
焊缝附近寿命异常长	未计入焊接残余应力与缺陷	加残余应力偏置并降低疲劳极限

Miner 损伤累加脚本

import numpy as np

def life(S, S1=300.0, N1=1.0e5, m=5.68):
    return N1 * (S1 / S)**m          # Basquin 幂律

blocks = [(250.0, 1.0e5), (200.0, 3.0e5)]
D = sum(n / life(S) for S, n in blocks)
print("N(250 MPa) =", life(250.0))   # 2.82e5
print("Miner D   =", round(D, 3))    # 0.655
# Goodman 修正后的许用幅值
sa = 200.0 * (1 - 100.0/700.0)
print("Goodman sigma_a =", round(sa, 1))   # 171.4 MPa

参考文献

1. Basquin, O.H. “The exponential law of endurance tests.” Proceedings of the American Society for Testing and Materials, 10, 625–630, 1910.
2. Miner, M.A. “Cumulative damage in fatigue.” Journal of Applied Mechanics, 12(3), A159–A164, 1945.
3. Coffin, L.F. “A study of the effects of cyclic thermal stresses on a ductile metal.” Transactions of the ASME, 76, 931–950, 1954.
4. Dowling, N.E. Mechanical Behavior of Materials: Engineering Methods for Deformation, Fracture, and Fatigue, 4th ed. Pearson, 2013.
5. Stephens, R.I., Fatemi, A., Stephens, R.R., Fuchs, H.O. Metal Fatigue in Engineering, 2nd ed. Wiley, 2001.
6. ASTM E1049-85. Standard Practices for Cycle Counting in Fatigue Analysis. ASTM International, 2017.