结构与有限元算法

子模型与边界传递：物理建模与适用边界

子模型的边界是切割面是否落在 Saint-Venant 影响区之外。本文给出应力扰动按 $(a/r)^{2}$ 衰减的估算、位移插值驱动条件与切割距离判据，由 $a=10\,\mathrm{mm}$ 圆孔算出需切到 5a=50 mm 以上，并给出把峰值从 318 MPa 收敛到 303 MPa 的验证表。

林工程师更新于 2026/9/22

CAE结构与有限元算法物理建模与适用边界子模型与边界传递Saint-Venant 原理驱动边界进阶

子模型与边界传递：物理建模与适用边界

子模型法用粗网格整体模型提供边界位移，再在局部细网格上求解高应力区。它能否成立，取决于切割面是否远离扰动源：如果切口落在应力梯度剧烈区，驱动进来的位移本身就带误差，细网格只是把一个错误的边界解得更精细。本文给出 Saint-Venant 原理的定量衰减规律、位移插值驱动条件与切割距离判据，并用一个带孔板算例把峰值应力收敛过程做成可核对的验证表。

位移驱动与插值

子模型的边界条件不是力而是位移，从整体模型插值得到：

\mathbf u_{sub}(\mathbf x)=\sum_i N_i(\mathbf x)\,\mathbf u_{glob}(\mathbf x_i)

$N_i$ 是插值形函数， $\mathbf x_i$ 是整体模型在切割面上的节点。若整体与子模型网格一致，可直接节点对节点取值；若不一致，需在切割面上做形函数插值。驱动的自由度要按子模型类型选择：实体子模型驱动 3 个平动自由度，壳/梁子模型还需驱动转动自由度；热-力耦合子模型同时驱动温度场。只驱动平动而忽略转动，在壳结构上会产生显著的边界误差。

Saint-Venant 衰减与切割距离

Saint-Venant 原理指出，自平衡载荷引起的应力扰动随距加载区距离迅速衰减。对圆孔这类几何扰动，远场应力扰动近似按

\frac{\Delta\sigma}{\sigma_{\infty}}\sim\left(\frac{a}{r}\right)^{2}

衰减， $a$ 是扰动特征尺寸（孔半径）， $r$ 是到孔心的距离。取 $a=10\,\mathrm{mm}$ ： $r=2a=20\,\mathrm{mm}$ 时扰动为 $(1/2)^{2}=25\%$ ， $r=3a=30\,\mathrm{mm}$ 时 11%， $r=5a=50\,\mathrm{mm}$ 时 4%， $r=7a=70\,\mathrm{mm}$ 时 2%。工程上要求切割面的扰动低于 5%，即 $r\ge4.5a$ ，取整为 $5a$ 。这不是一个可以凭感觉缩小的数：把切割距离从 $5a$ 缩到 $2a$ ，驱动边界上的位移误差从 4% 升到 25%，峰值应力会被系统性带偏。

一次可核对的切割距离验证

取带圆孔的受拉板，孔半径 $a=10\,\mathrm{mm}$ ，板宽 200 mm，名义应力 $\sigma_\infty=200\,\mathrm{MPa}$ 。整体模型用 2 mm 单元，子模型在孔边用 0.2 mm 单元。逐步外移切割面并记录孔边峰值应力：

切割距离	边界扰动	子模型峰值应力	相对上一级变化
$2a=20\,\mathrm{mm}$	25%	318 MPa	—
$3a=30\,\mathrm{mm}$	11%	310 MPa	2.6%
$5a=50\,\mathrm{mm}$	4%	303 MPa	2.3%
$7a=70\,\mathrm{mm}$	2%	302 MPa	0.33%

判定规则是：相邻两级切割距离的峰值变化小于 2% 时，认为切割位置已可接受。上表中 $5a\to7a$ 变化 0.33%，而 $3a\to5a$ 仍达 2.3%，因此切割面取 $5a=50\,\mathrm{mm}$ 以上。理论应力集中系数 $K_t=3.0$ 给出孔边峰值 $3.0\times200=600\,\mathrm{MPa}$ （无限大板），本例有限宽修正后约 2.85，即 570 MPa；子模型若给出 303 MPa，说明该处还叠加了其他边界效应，需要核对载荷与约束，而不是继续加密。

失效模式

现象	根因	判定试验
子模型峰值随切割距离明显漂移	切割面落在 Saint-Venant 影响区内	逐步外移切割面，检查变化是否收敛到 2% 以内
壳子模型边界处出现异常弯矩	只驱动了平动，漏掉转动自由度	检查驱动自由度是否包含 3 个转动
子模型反力与整体模型不一致	插值误差或边界未完全驱动	比较切割面合力与整体模型对应值
峰值随整体网格加密而变	整体模型在切割面精度不足	加密整体模型切割面附近网格后复算
热子模型温度场不连续	未驱动温度场	同时驱动温度自由度
子模型结果比整体模型还差	用应力而非位移驱动	改为位移驱动，避免应力边界引入误差

子模型驱动设置

Abaqus 中定义子模型并驱动位移与温度的片段：

*STEP
*STATIC
*SUBMODEL, GLOBAL ELSET=ALL, ABSOLUTE
*BOUNDARY, DRIVEN, SUBMODEL, STEP=1
CUT_FACE, 1, 3, 0.0        # 驱动 3 个平动自由度
*TEMPERATURE, FILE=global_job
*OUTPUT, FIELD
*NODE FILE
U, S

ABSOLUTE 表示用绝对位移驱动；若子模型与整体模型参考构形不同，用 RELATIVE。DRIVEN 后需指定自由度范围，壳子模型应写 1, 6。

参考文献

de Saint-Venant, A.J.C.B. “Mémoire sur la torsion des prismes.” Mémoires présentés par divers savants à l’Académie des Sciences, 14, 233–560, 1855.
Timoshenko, S.P., Goodier, J.N. Theory of Elasticity, 3rd ed. McGraw-Hill, 1970.
Bathe, K.-J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, 1996.
Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., Zhu, J.Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, 7th ed. Butterworth-Heinemann, 2013.
Cormier, N.G., Smallwood, B.S., Sinclair, G.B., Meda, G. “Aggressive submodelling of stress concentrations.” International Journal for Numerical Methods in Engineering, 46(6), 889–909, 1999.
Dassault Systèmes. Abaqus Analysis User’s Guide, Section 10.2.1 (Submodeling). 2023.